1.6. Волновые модели случайных полей

В двух предыдущих подразделах приведено решение задачи анализа для авторегрессионых и тензорных моделей СП. Принципиальные решения этой задачи имеются и для других моделей полей, но воспользоваться ими можно только в относительно простых частных случаях, так как конкретизация решения связана с громоздкими выкладками и вычислениями, например, с действиями над матрицами и тензорами больших размеров и вычислением многомерных интегралов по комплексным переменным.

Еще более сложной в конструктивном отношении является задача синтеза. Вместе с тем ее решение необходимо, например, для имитации СП с заданной КФ.

Рассмотрим волновую модель СП, являющуюся обобщением ряда других моделей и позволяющую эффективно решать задачи корреляционного анализа и синтеза. Эта модель достаточно проста и может служить основой для имитации СП с заданной КФ без увеличения числа параметров модели.

В волновой модели СП определяется равенством

,                               (1.52)

где (n+1)-мерная область определения {} поля может быть сеточной или непрерывной; {} – дискретное поле случайных точек (ПСТ) в (n+1)-мерном непрерывном пространстве;  t  и  tk интерпретируются как время; –  случайный вектор параметров функции .

Это поле можно представить как результат воздействия случайных возмущений или волн , возникающих в случайных местах  в случайные моменты времени  и изменяющихся по заданному закону во времени и пространстве.

  Выбор функции , параметров ПСТ и  позволяет получить широкий класс полей, включающий в себя следующие модели.

1. Пуассоновские поля: при , где  d – символ Кронекера и  – пуассоновское ПСТ.

2. Многомерный фильтрованный пуассоновский процесс: при,  где {} – система скалярных СВ. Эта модель порождает только стационарные однородные поля, а образующие волны могут отличаться друг от друга только одним параметром .

3. Модель взвешенных сумм: при , где {} – совокупность всех узлов сетки и g – соответствующие веса случайных величин .

4. Модель случайных блужданий: ПСТ описывает случайное блуждание (возможно, с возникновением и исчезновением) совокупности волн, а выбор   определяет динамику формы и интенсивности волн. Такие модели можно применить, например, для имитации изображения движущихся облаков.

Рассмотрим частный случай волновой модели, для которой корреляционные задачи анализа и синтеза легко решаются. Пусть

 ,        (1.53)

где ПСТ – пуассоновское с постоянной плотностью l;  – расстояние между  и ; {Rk} – система независимых неотрицательных одинаково распределенных СВ с ПРВ w(a); {} – система независимых одинаково распределенных СВ. В этом случае волны неподвижны, независимы между собой, имеют сферические сечения по пространству и экспоненциально затухают со временем; система {} определяет интенсивность волн, а {Rk} – их пространственный масштаб.

Порождаемое поле X,  очевидно,  стационарно, однородно, имеет нулевое среднее и изотропную по пространству КФ

  .                            (1.54)

Учитывая, что в данном случае слагаемые в (1.52) не коррелированы и элементарное событие {в элементе  возникла точка ПСТ, которой соответствует волна с пространственным масштабом a из элемента Da} имеет вероятность , выразим (1.54) через интеграл по переменным t, a, j1,…,jn. После интегрирования по t получаем

Этот (n+1)-кратный интеграл сводится к однократному

,                 (1.55)

если выбрать g(y) = c exp(-2y2).

При r = t = 0 из (1.55) находим дисперсию поля

,                                      (1.56)

пропорциональную плотности l ПСТ, эффективному интервалу 1/m  затухания волн и среднему значению n-й степени пространственного масштаба R.

Имитация дискретного поля  на n-мерной сетке {} с шагом квантования Dt по времени на основе модели рассмотренного частного вида может быть осуществлена с помощью следующего алгоритма. В начальный момент t0 = 0 значения поля во всех узлах равны нулю. В каждый последующий момент tm = mDt на непрерывном пространстве или на сетке, несколько перекрывающей {}, формируется пуассоновское ПСТ с плотностью lDt. В каждой сформированной точке ПСТ  разыгрываются СВ xk и Rk , после чего производится преобразование

                              (1.57)

всех значений поля на сетке {}. При таком моделировании в (1.57) можно учитывать только достаточно большие по сравнению с уровнем квантования слагаемые. Достоинством такого алгоритма является его рекуррентность, что позволяет легко реализовать имитацию поля на ЭВМ.

На рис. 1.11 приведены реализации полей, полученных с помощью описанного алгоритма при различных входящих в модель параметрах. На рис.1.11,а показан первый кадр поля, на котором отчетливо видны четыре волны с квадратично экспоненциальным сечением.

С течением времени волн становится все больше, они налагаются друг на друга, создавая плавное изображение. На рис. 1.11,б показан двадцатый кадр этого процесса. По прошествии временного интервала порядка mDt=1/m характер И практически не меняется – поле устанавливается. Происходит это потому, что волны затухают при многократном умножении на exp(mDt) в (1.57). Основной вклад в формирование И вносят волны, возникающие на последних m = 1/mDt  кадрах.

Рис. 1.11,в получен при вырожденном  распределении (R = 5), поэтому изображение выглядит проще по сравнению с предыдущим, так как состоит из волн, отличающихся друг от друга только интенсивностью. Поэтому на нем имеются образования примерно одинаковых размеров, а на рис. 1.11,б присутствуют разномасштабные образования.

Если в формуле (1.52) функция g(y) кусочно-постоянна, то и реализации поля будут кусочно-постоянными. Пример реализации такого поля для функции g(y) = 1  при   и  g(y) = 0 при  приведен на рис. 1.11,г,  И является результатом наложения кругов различных диаметров и интенсивностей. На границе кругов наблюдаются контрастные переходы.

а

б

в

г

Рис. 1.11.

Каждое значение  поля является суммой случайного числа СВ, поэтому поле, вообще говоря, не будет гауссовским даже при гауссовских {}. Однако с ростом параметра модели  lM[Rn]/m  в сумме (1.52) возрастает количество слагаемых с близкими распределениями, и поле нормализуется.

Рассмотрим теперь решение корреляционных задач анализа и синтеза. Из (1.55) следует, что построенное поле имеет экспоненциальную НКФ  по времени и НКФ

                       (1.58)

по пространству. Таким образом, при решении задачи анализа, когда ПРВ  задана, искомая НКФ может быть найдена аналитически или численным интегрированием. При решении задачи синтеза, когда НКФ  r(r) задана, необходимо решить интегральное уравнение (1.58) относительно неизвестной ПРВ .

  Выполняя в (1.58) замену x = a-2, получим выражение НКФ

                       (1.59)

через преобразование Лапласа функции . Из (1.59) следует, что если  и  – оригинал и изображение при преобразовании Лапласа, то с точностью до постоянного множителя  и . Это обстоятельство позволяет использовать теорию преобразования Лапласа для решения поставленных задач анализа и синтеза. Например, при равномерной ПРВ  на отрезке [a,b] получаем

,

при  находим ,

а при  имеем .

Поскольку найти аналитическое решение задачи синтеза удается не всегда, рассмотрим метод ее приближенного решения. Из (1.58) следует, что при вырожденном распределении ( R=a=const ) получаем КФ . Пусть теперь задана произвольная невозрастающая НКФ . Аппроксимируем ее с достаточной точностью суммой гауссоид с положительными коэффициентами: , где , так как . Тогда при дискретном распределении , где , порождаемое поле будет иметь НКФ, в точности равную . Таким образом, построенная модель позволяет приближенно решать задачу синтеза с помощью вариации только распределения вероятностей масштаба R.

Отметим, что волновая модель может порождать и анизотропные поля. Для этого волны должны иметь форму, отличную от сферической. Если, например, в (1.53) положить , где A – положительно определенная матрица, то волны будут иметь эллипсоидальную форму с заданной ориентацией. Рассмотренному выше случаю сферических волн соответствует A = E. В общем случае в формулах (1.55) и (1.56) добавится дополнительный множитель (det A)-1/2, равный произведению полуосей эллипсоида . При этом все точки поля на эллипсоиде   будут иметь ковариацию (1.55) с его центром, т. е. поле будет иметь эллипсоидальную анизотропию.