1.3. Авторегрессионные модели случайных полей

По своему строению СП значительно сложнее случайных процессов. Во-первых, реализации случайных полей являются функциями нескольких переменных, теория которых принципиально сложнее теории функций одной переменной. Во-вторых, значительно усложняется понятие марковости.

Случайный процесс можно представить развивающимся во времени, математическим выражением такого развития и является модель (1.1). Для марковских последовательностей временной интервал может быть разбит любой точкой i на условно независимые прошлое  и будущее . Однако СП определено на  n-мерной области W, для геометрического разбиения которого на две части  и  требуется, по меньшей мере, (n-1)-мерная область . Свойство марковости случайного поля состоит в том, что для любого множества  (из некоторого класса множеств) СВ, входящие в , условно независимы от СВ, входящих в , при известных значениях . Назвать ,  и   прошлым, настоящим и будущим можно весьма условно. Тем не менее марковское свойство позволяет представить случайное поле также формирующимся во времени от  через  к , при этом  с течением времени перемещается по W. Например, если в качестве  брать строки двумерной сетки W, то поле X можно представить формирующимся построчно.

Дальнейшее развитие этой идеи позволяет обобщить авторегрессионные модели случайных последовательностей на СП. Если порядок формирования последовательности  обычно соответствует наблюдаемым во времени значениям, то порядок формирования поля  требует дополнительного определения. Для этого нужно линейно упорядочить узлы сетки Ω, тогда про любые два элемента поля можно сказать, что один из них предшествует другому. Если  предшествует , то будем отмечать это как , т. е. номер элемента  меньше номера  при данной развертке. Существует множество вариантов такого упорядочения. В двумерном случае чаще всего применяются пилообразная и треугольная развертки, показанные соответственно на  рис. 1.3,а и 1.3,б.

Рис. 1.3.

В результате развертки поле преобразуется в случайную последовательность. Предположим, что она является марковской порядка s, т. е. условная ПРВ любого  относительно всех предшествующих ему элементов зависит только от некоторого конечного отрезка . Множество  называется глобальным состоянием. В двумерном случае оно при пилообразной (и треугольной) развертке включает в себя несколько последних строк и показано на рис. 1.4. Следовательно, можно представить  в каузальном виде как функцию элементов глобального состояния и возмущения :

.                                       (1.8)

Полученное выражение представляет авторегрессионную модель случайного поля. Однако использовать (1.8) для представления полей на сетках больших размеров трудно, а для бесконечных сеток – невозможно ввиду большого или даже бесконечного числа аргументов функций .

Рис. 1.4.

Преодолеть эту трудность позволяет то обстоятельство, что ПРВ  часто зависит не от всего глобального состояния , а только от некоторой его части , называющейся локальным состоянием и включающей в себя только достаточно близкие к  элементы поля, не упреждающие  относительно данной развертки. На рис. 1.4 область, соответствующая локальному состоянию , обозначена двойной штриховкой.

В результате поле X может быть представлено авторегрессионной моделью

,                                 (1.9)

которая во многих случаях может быть приемлема для решения прикладных задач. Конечно, может оказаться, что даже область локального состояния  слишком велика, и возникают значительные технические трудности при имитации или обработке полей. В таких ситуациях можно  уменьшить до приемлемых размеров, используя полученную модель (1.9) как некоторое приближение к реальным физическим объектам.

Линейные модели случайных полей

Рассмотрим  линейную гауссовскую авторегрессионную модель

,                               (1.10)

где применена многомерная развертка сетки W. Здесь  – весовые коэффиценты;  – локальное состояние;  – система стандартных гауссовских СВ. Одним из первых подобную модель применительно к оценке плоских изображений исследовал Хабиби:

.         (1.11)

Схема вычислений для этой модели представлена на рис. 1.5,а. Порождаемое поле имеет множительную экспоненциальную КФ:

.                                     (1.12)

Обобщением модели (1.11) на многомерный случай является

.        (1.13)

Порождаемое поле также имеет множительную КФ

.                                      (1.14)

На основе модели (1.11) разработано большое количество алгоритмов фильтрации случайных полей. Однако она, как и ее многомерный вариант (1.13), имеет существенный недостаток – множительность (факторизуемость) КФ. В двумерном случае элементы поля, одинаково коррелированные с элементом , расположены на ромбе с центром в (i1,i2), а в многомерном случае – на ромбоиде, хотя более естественными сечениями КФ для реальных полей были бы эллипс и эллипсоид. Для частичного скругления сечений КФ можно отказаться от частного вида весовых коэффициентов (1.13), как это сделано в п.1.4, а также расширить область локальных состояний. Однако такое расширение приводит к резкому увеличению числа слагаемых в  (1.10).

Простейшее авторегрессионное уравнение, порождающее n-мерное поле X, не распадающееся на независимые поля меньшей размерности, имеет вид

,                                  (1.15)

где  – единичный вектор k-й координатной оси. Любая модель (1.10) может быть приведена к модели типа (1.15), содержащей минимально возможное число слагаемых. Для этого воспользуемся векторными авторегрессионными моделями, которые в линейном случае описываются уравнением

,                                       (1.16)

где  – значение векторного поля в узле ; , B – квадратные матрицы;

 – порождающее стандартное векторное поле независимых векторов с независимыми компонентами.

Действительно, рассмотрим, к примеру, модель (1.11) и представим ее в виде (1.16). Введем для этого векторы  и  , , тогда ,  и уравнение (1.11) будет эквивалентно первой компоненте векторного уравнения

                 (1.17)

или при очевидных обозначениях

,                                   (1.18)

т. е. будет минимальной векторной моделью вида (1.16). На рис 1.5,б показаны элементы поля, входящие в векторы модели (1.17).

Рис. 1.5.