10.6. Общий случай

Доказательство теоремы Шеннона в общем случае проводится примерно тем же способом, что и для двоичного симметричного канала. Различие в доказательствах проявляется при отыскании метрики, заменяющей расстояние Хэмминга (пригодное только для канала с белым шумом). Возникает Также задача подсчета числа возможных сообщений, лежащих внутри шара, определяемого по этому новому расстоянию. Наконец, вместо простой формулы для пропускной способности канала следует использовать общее выражение.

Нужной метрикой является вероятность ошибки. Если шум не является белым, то шары превращаются в эллипсоиды, длинные оси которых направлены в сторону менее вероятных ошибок, а короткие — в сторону более вероятных ошибок.

После того как подходящая метрика найдена, следует выбрать шары равной вероятности с центрами в принятых словах, увеличить эти шары, как и ранее, так, чтобы согласно закону больших чисел при достаточно большом переданное сообщение почти наверняка лежало в этом шаре. Затем число сообщений выбирается таким образом, чтобы при достаточно большом вероятность пересечения шаров была сколь угодно малой. В остальном доказательство проводится так же, Как в случае двоичного симметричного канала.