11.2. Еще раз о кодах с проверкой на четность и с обнаружением ошибок

Коды с проверкой на четность и с обнаружением одной ошибки разд. 2.2) имели одну проверку на четность по всем символам. Если записать 1 для каждого символа, который входит в проверку, и для каждого из оставшихся символов, то получим матрицу (в данном случае она будет тривиальной матрицей размером

Рассмотрим кодовое слово, которое обозначается теперь буквой это вектор, состоящий из двоичных цифр, например

Пусть соответствующий транспонированный вектор-столбец. Имеем (используя, конечно, арифметические операции по модулю 2)

для каждого передаваемого кодового слова. Важно понять, почему это равенство справедливо. При внимательном изучении оказывается, что оно представляет собой другую форму записи проверки на четность.

Предположим теперь, что при передаче кодового слова сделана одна ошибка. Эта ошибка изменит один двоичный символ. Вспоминая, что рассматриваются арифметические операции по модулю 2, запишем принятое слово в виде где вектор, все компоненты которого равны 0, за исключением компоненты, соответствующей положению ошибки; эта компонента равна 1.

Рассмотрим, наконец, выражение одной ошибки).

Синдром принятого слова (результат применения проверки на четность) в этом случае равен 1, если произошло нечетное число ошибок, и 0, если четное число ошибок, включая случай отсутствия ошибок.