А2. Интеграл Фурье

Интеграл Фурье является естественным математическим средством для исследования функций с ограниченным спектром и представляет функцию в виде суммы комплексных экспонент (собственных функций) следующим образом:

Стоящая под знаком интеграла функция называется преобразованием Фурье функции Она связана с первоначальной функцией интересной формулой

совпадающей с первой формулой, за исключением знака перед ; в одном из интегралов в показателе экспоненты стоит а в другом —

Интеграл Фурье подобен стеклянной призме, которая разделяет луч света по цветам — частотам. Функция указывает на величину (амплитуду) частоты в исходном сигнале Интеграл — это просто взвешенная сумма всех возможных частот, вес частоты

Функции при своем представлении используют положительные и отрицательные частоты в соответствии с равенствами

В качестве примера построения функции с ограниченным спектром рассмотрим функцию равную вне полосы (рис.

Тогда

Предположим далее, что внутри полосы функции постоянна и равна так что площадь под графиком в точноати равна 1. Тогда

Хорошо известная функция показана на рис. . У нее есть главный лепесток около ширины боковые лепестки вдвое меньшей ширины, которые убывают как Чем больше (чем шире полоса), тем уже главный лепесток, а вместе с ним и боковые лепестки. Тем самым можно предположить, что функция может иметь резкие колебания лишь в случае широкой полосы.

Рис. Функция с отграниченной полосой

Рис.