9.3. Приближение Стерлинга для n!

Приближенная формула Стерлинга имеет вид

Несмотря на то, что она часто используется, ее полное доказательство приводится сравнительно редко. Приведем его, поскольку нам нужна формула Стерлинга.

Величина является произведением, а искать приближенные формулы для произведений довольно трудно. Поэтому будем искать приближенное выражение для (все логарифмы в этом разделе берутся по основанию ). Вместо суммы рассмотрим интеграл (берется интегрированием по частям):

Используя для приближенного вычисления интеграла правило трапеций (рис. 9.3.1), получим оценку снизу. Поэтому

Применяя (9.3.2) и перенося один из членов в левую часть, имеем

Беря антилогарифмы, получаем

Рис. 9.3.1. Правило трапеций

Рис. 9.3.2. Формула средних точек

Для оценки интеграла сверху используем формулу интегрирования по средним точкам и заметим (рис. 9.3.2), что если повернуть горизонтальный отрезок, соответствующий средней точке, так чтобы он касался кривой, то площадь под ним не изменится. Для первого отрезка длиной оценим площадь под кривой площадью треугольника, образованного касательной при и равного 1/8. Для последнего отрезка длиной 1/2 используем максимальное значение функции, равное и получим оценку Поэтому

Снова воспользуемся (9.3.2) и, перенося два слагаемых в левую часть, получаем

Беря антилогарифмы, имеем

Коэффициент С в приближении

с учетом (9.3.3) и (9.3.4) лежит в пределах или

Поскольку ошибка при использовании формулы средних точек примерно вдвое меньше ошибки при использовании правила трапеций и эти две ошибки имеют разные знаки, то лучшим приближением для С будет взвешенное среднее

Оказывается, что значением С (при бесконечном является

Для точного вычисления коэффициента С (при бесконечном применим следующий прием. Рассмотрим интеграл

При тригонометрическая подстановка приводит к равенству

Интегрирование по частям дает

Разрешая это равенство относительно получаем рекуррентное соотношение для интеграла:

Легко показать, что

Заметим далее, что поскольку для всех из интервала интегрирования, то Деля на имеем

Подставляя значения интегралов из (9.3.8), получаем

Числитель выражения в квадратных скобках можно сделать равным умножив числитель и знаменатель на знаменатель. Используя равенство имеем

Извлечем квадратный корень из каждого члена (беря положительное значение корня):

Наконец, подставляя приближенное выражение в каждый факториал, получаем

После сокращения получаем соотношение

Поэтому для больших

Таким образом, получена приближенная формула Стирлинга. Как показывает табл. 9.3.1, отношение приближенного значения, вычисленного по формуле Стирлинга, к точному значению, удивительно близко к 1 даже для небольших значений Эта таблица показывает, что приближение является относительно точным при однако разность точного и приближенного значений не стремится к 0.

Таблица 9.3.1 (см. скан) Приближение Стирлинга