9.5. Евклидово n-мерное пространство
Термин «n-мерное пространство» означает, что рассматриваются 
независимых переменных 
Термин «Евклидово» означает, что используется Евклидово расстояние
и можно определить сферу радиуса 
с помощью этого выражения.
Так же как в классической Евклидовой геометрии, здесь легко видеть, что объем 
-мерного шара зависит от радиуса 
как 
Для этого объема имеем
где 
константа, зависящая от 
Например, 
(заметим, что 
Для нахождения значений 
используем тот же прием, что и в разд. 9.2, где мы умножали интеграл, задающий гамма-функцию, на себя, и переходили к полярным координатам (там этот прием работал весьма успешно). Рассмотрим произведение 
таких интегралов. Имеем [с помощью (9.5.1)]
Для того чтобы получить последнее равенство нужно провести простое рассмотрение сферического слоя толщины 
и сравнить это равенство с результатом, полученным для двумерного пространства
Для которого в разд. 9.2 фактически использовался тот же прием (хотя там он казался очень привычным).
Таким образом, с учетом (9.5.2) имеем
Положим 
Тогда 
и
Поэтому
Легко показать, что 
что позволяет составить таблицу (для объема единичного шара в 
-мерном пространстве).
(см. скан)
Из таблицы видно, что объем единичного шара, или, другими словами, коэффициент при 
принимает наибольшее значение при 
и затем сравнительно быстро убывает до 0, когда 
.
Для 
объем 
-мерного шара радиуса 
равен
Отсюда сразу видно, что если 
то увеличение 
(или, что эквивалентно, увеличение 
приводит к уменьшению объема. В действительности, для заданного (сколь угодно большого) радиуса 
можно увеличить размерность 
пространства настолько, что объем шара радиуса 
будет сколь угодно малым. Для пространств нечетной размерности, исходя из первоначального определения 
по формуле (9.2.1), можно получить, что
Это выражение плавно меняется при увеличении 
Найдем теперь долю объема 
-мерного шара, лежащего на расстоянии 
от его поверхности (здесь 
может быть сколь угодно малым положительным числом). Имеем
Таким образом, 
пространствах большой размерности почти весь объем шара сосредоточен вблизи его поверхности. В действительности, если требуется выполнить условия, чтобы слой был достаточно тонким, а доля объема была достаточно близка к 1 (скажем, 99,44%), можно найти такое По, что при всех 
больших 
оба эти условия будут выполнены. Внутри шара большой размерности практически ничего нет; почти весь его объем сосредоточен на поверхности.
