3.7. Коды с исправлением одиночных ошибок и обнаружением двойных ошибок

Часто неразумно ограничиваться лишь исправлением одиночных ошибок, поскольку двойная ошибка может ввести систему в Заблуждение; в результате система по синдрому будет исправлять ошибку не в том месте, и в декодированном сообщении возникнут

три ошибки. Вместо этого во многих (но не во всех) случаях достаточно разумно использовать коды с исправлением одиночных ошибок и дополнительно с обнаружением двойных ошибок. При этом условие, необходимое для обнаружения двойных ошибок, состоит в том, что минимальное расстояние должно увеличиться на 1 и равняться 4.

Для получения кода с дополнительным обнаружением двойных ошибок из кода с исправлением одиночных ошибок, добавим еще одну проверку на четность (и еще одну позицию), охватив этой проверкой все сообщение. Тогда каждая одиночная ошибка по-прежнему будет давать правильный синдром, а дополнительная проверка на четность — 1. Двойная ошибка приведет к некоторому ненулевому синдрому, но дополнительная проверка на четность будет выполнена. Эта ситуация (а именно, появление любого синдрома и выполнение дополнительной проверки на четность) позволяет распознать двойную ошибку (табл. 3.7.1).

Таб лица 3.7.1 (см. скан) Обнаружение двойных ошибок

Легко видеть, что если две точки первоначального кода находятся на расстоянии 3, то число единиц в этих точках имеет разную четность. Таким образом, при выполнении дополнительной проверки на четность для двух таких точек получаются разные значения, так что расстояние между ними увеличивается до 4.

Приведенные рассуждения применимы как при алгебраическом, так и при геометрическом подходе; они показывают, как оба подхода дополняют друг друга. До сих пор не приводились какие-либо конструктивные методы построения кодов с исправлением ошибок высокой кратности, а приводились только оценки для них. В гл. 11 дается некоторое представление об этих методах. Полная теория кодов с исправлением ошибок разрабатывалась в течение многих лет и является довольно сложной. Поэтому здесь указывается лишь общий подход.

Заметим, что теория предполагает надежную работу устройств, исправляющих ошибки; исправлению подвергаются только ошибки в принятом (вычисленном) сообщении.

Задача

3 7.1. Покажите, что рассуждения, использованные для дополнительного обнаружения ошибки, можно применить к любому коду с нечетным минимальным расстоянием, получая код, имеющий на 1 большее (четное) минимальное расстояние.