A3. Теорема отсчетов

Знаменитая теорема отсчетов связывает скорость отсчетов с шириной полосы, необходимой для восстановления функции по отсчетам. Прежде чем формулировать теорему, напомним читателю кое-что из его опыта. Во время просмотра кинофильма или телевизионной передачи фактически вы смотрите последовательность неподвижных кадров, сменяющих друг друга столь быстро, что изображение кажется движущимся; обычно достаточно 15—20 изображений в секунду, чтобы обмануть человеческий глаз. У такой системы отсчетов есть, однако, особенности. Например, когда фургон в каком-нибудь ковбойском фильме начинает двигаться, то кажется, что его колеса сперва вращаются с ускорением, затем вращение замедляется, колеса останавливаются, вращаются назад, останавливаются, вращаются вперед, останавливаются, и так далее,

в зависимости от скорости. Причину этого легко понять. Когда колесо фургона вращается настолько быстро, что одна спица попадает на место другой, они кажутся неподвижными. В действительности, если одна спица за интервал между двумя последовательными кадрами проходит ровно половину расстояния до следующей спицы, психологически кажется, что колесо стоит неподвижно и имеет вдвое большее число спиц. При скорости, незначительно превышающей эту, спицы кажутся движущимися назад.

Это явление можно рассматривать как следствие простого тригонометрического тождества. Ясно, что в случае, когда интервал между двумя отсчетами равен 1 (этого всегда можно достичь путем выбора масштаба по оси времени), любое число кратное можно удалить из-под знака синуса и косинуса. Эффективную частоту можно еще уменьшить, выделяя из частоты полуцелые числа, кратные периоду, поскольку это может лишь изменить знаки функций. Таким образом, при отсчетах высокие частоты будут казаться низкими. Максимальная частота, которую можно наблюдать без изменения, это та, для которой в каждом полном периоде имеется два отсчета. Низкие частоты остаются неизменными, тогда как высокие частоты превращаются в низкие, в том смысле, что в точках отсчета обе частоты имеют одинаковые значения.

После того, как это стало понятным, можно сформулировать теорему отсчетов. Пусть заданы отсчеты (для всех целых значений функции с ограниченным спектром; можно образовать бесконечную в обе стороны сумму:

Рассматривая слагаемые этой суммы в точках отсчета, например в точке замечаем, что слагаемое дает правильное значение а все остальные слагаемые равны 0. Таким образом, в этой точке сумма дает правильное значение функции. Остается, конечно, следующий вопрос: «Имеет ли построенная функция ограниченный спектр?» Результаты предыдущего раздела показывают, что ответ положителен: после сдвига функция по-прежнему имеет ограниченную полосу.

Поскольку книга не является математическим курсом, в ней не делается попытка доказать, что ряд сходится (он, очевидно, сходится в точках отсчета) и что он сходится к правильной функции. И то, и другое верно.