9.6. Один парадокс
Результаты этого раздела в дальнейшем не используются; 
включены для того, чтобы показать, насколько ненадежны наши интуитивные представления о сферах в Евклидовом 
-мервом пространстве.
Предположим, что, как показано на рис. 9.6.1, задан квадрат размером 4X4 с центром в точке 
и в каждом из четырех углов квадрата расположен круг единичного радиуса. Найдем радиус круга с центром в начале координат, который касается изнутри этих четырех кругов. Он равен
Рассмотрим далее аналогичную ситуацию в трехмерном пространстве. Имеется куб размером 
с восьмью единичными шарами в углах. Радиус внутреннего шара равен 
Рис. 9.6.1. Парадокс
Рассмотрим, наконец, аналогичное построение в 
-мерном (пространстве. Имеется куб размером 
с единичными шарами в углах, каждый из которых касается соседних шаров. Шары правильно упакованы. Расстояние от начала координат до центра произвольного шара равно 
Снова вычитая радиус углового единичного шара, получаем радиус внутреннего 
-мерного шара
При 
он равен 
и внутренний шар вылезает за пределы куба! Возможно ли это? Шары, конечно, являются выпуклыми фигурами, расстояние — правильным Евклидовым расстоянием, радиусы угловых шаров равны, конечно, единице, так что сделанный вывод неизбежен. При 
внутренний 
вылезает за пределы куба, что противоречит всем обычным представлениям.
Дальнейшие «чудеса» получаются, если рассмотреть отношение объема внутреннего шара к объему всего куба при разных 
. В частном случае, когда 
четное число, 
используем (9.6.1) и получаем
Используя формулу Стирлинга (9.3.1) для 
и известный результата из анализа 
из (9.6.2) получаем
Но 
Взяв логарифм по основанию 
от обеих частей равенства (9.6.3) при 
получаем, что 
(отношение) 
Это значит, что множитель 
стремится к бесконечности быстрее, чем убывают два других множителя 
в произведении (9.6.3).
Следовательно, отношение объема внутреннего шара к объему куба, содержащего все 
угловых единичных шаров, становится сколь угодно большим.
Случай нечетной размерности 
не меняет положения дел; лишь детали становятся более запутанными.
Задача
9.6.1. Покажите, что при достаточно большом 
прямая, соединяющая начало координат с точкой 
становится «почти перпендикулярной» всем координатным осям. (Указание: 
