§ 7.3. Гладкая кривая в пространстве. Длина дуги

В § 4.21 было введено понятие плоской непрерывной кривой, заданной параметрически,  в частности гладкой кривой. Мы хотим пополнить эти сведения. Но заодно будем рассматривать более общую кривую в пространстве. Три уравнения (рис. 83)

,

где функции  непрерывны на , определяют непрерывную кривую, которую мы обозначим через . Если к тому же функции  не только непрерывны, но имеют на непрерывные производные, одновременно не обращающиеся в нуль, то  называется гладкой кривой на .

Рис. 83

Тот факт, что производные  для любого значения  одновременно не обращаются в нуль, можно выразить так: имеет место неравенство

                 (2)

для всех .

Если мы зададим определенное значение , то в силу (2) одно из слагаемых  - пусть первое – не равно нулю . Вследствие непрерывности  существует интервал , на котором  имеет тот же знак, что и . Но тогда на этом интервале функция  строго монотонна и существует обратная к ней непрерывно дифференцируемая функция  - некоторая окрестность точки .  В результате мы получим, что некоторый малый кусок  кривой , содержащий в себе точку , описывается двумя непрерывно дифференцируемыми функциями от :

,

. Если, на самом деле,  или , то, рассуждая подобным образом, получим, что некоторый кусок  записывается уравнениями

или соответственно

.

Уравнения (1) гладкой кривой  не только задают  (как геометрическое место точек , но и определяют ориентацию , т. е. направление, вдоль которого возрастает параметр . На рис. 83  изображена гладкая кривая , соответствующая изменению параметра  на отрезке  - начальная точка ,  - конечная точка , стрелка указывает ориентацию .

Когда параметр  непрерывно возрастает от  до , точка  непрерывно двигается по  от начальной точки  до конечной точки . Движущаяся точка может возвратиться в прежнее положение, т. е. может случиться, что   и    , и тогда кривая  называется самопересекающейся. Кривая  называется замкнутой, если точки  и  совпадают.

Введем функцию , имеющую непрерывную не равную нулю производную на  и отображающую  на . Так как  не меняет знак на ,  то может быть только два случая:

1) , и тогда ,

2) , и тогда .

Наша гладкая кривая  может быть задана уравнениями

                        (1’)

при помощи параметра . Одна и та же гладкая кривая  может быть задана параметрически посредством разных параметров .

Заметим, что условие (2) на языке  сохраняется, потому что согласно формуле производной функции от функции

 .   (3)

Однако при введении нового параметра  может измениться ориентация .  Если  на , то функция  строго возрастает и . В этом случае с возрастанием  возрастает  от  до , т. е. ориентация  не меняется – уравнения (1) и (1’) определяют одну и ту же гладкую кривую с той же ориентацией, только при  помощи разных параметров.   Если же  на , то   и при возрастании  параметр  убывает. В этом случае уравнения (1’) определяют ту же кривую , что и уравнения (1), но с противоположной ориентацией.

В тех вопросах, где нужно учитывать ориентацию кривой, под буквой  понимают не только самую кривую (геометрическое место точек), но и ее ориентацию. Надо помнить, что уравнения (1) определяют как саму кривую, так и ее ориентацию (движение точки  в направлении возрастания ). Если заменить параметр  на другой параметр  , то получим ту же ориентированную кривую , если . Если же , то получим ту же кривую, но ориентированную противоположно – ее уже (как ориентированную кривую) надо обозначить другим символом, удобно через .

Если задана ориентированная кривая  посредством уравнений (1), то  можно, например, задать уравнениями

.

Введем понятие длины дуги непрерывной кривой . Пусть задана непрерывная кривая  посредством уравнений (1). Разобьем отрезок  значениями . Каждому  соответствует точка  . Соединим точки  последовательно отрезками  (рис. 84). В результате получим ломаную , вписанную в . Длина  равна сумме длин  :

.                             (4)

Рис. 84

Предел длины , когда максимум  стремится к нулю

,                                           (5)

если он существует (есть конечное число), называется длиной дуги . Мы его обозначили через .

Можно доказать, что для любой непрерывной кривой (1) предел (5) конечный или бесконечный  существует. В случае если этот предел конечный, кривая называется спрямляемой.

Т е о р е м а  1. Гладкая на  кривая , определяемая равенствами (1), спрямляема. Ее длина дуги равна

          (6)

В этой формулировке важно, что уравнения  заданы на отрезке  . Если бы они были заданы на интервале , где  непрерывно дифференцируемы на  и их производные одновременно не равны нулю, мы тоже сказали бы, что уравнения (1) определяют гладкую на  кривую, но она могла бы и не быть спрямляемой. Однако любой ее кусок, соответствующий некоторому отрезку  спрямляем.

Д о к а з а т е л ь с т в о   т е о р е м ы   1. Применяя теорему Лагранжа к функциям , будем иметь

,

и, следовательно (пояснения ниже),

         (7)

(здесь  - вообще различные точки), т. е. справедлива формула (6).

В самом деле, в силу непрерывности подынтегральной функции

.

Кроме того, заметим, что выполняется неравенство

,

выражающее, что разность длин двух сторон треугольника не превышает длины третьей стороны.

Далее, так как функции  и  непрерывны на , то они и равномерно непрерывны на . Поэтому, если , то

,

и, следовательно,

.

Это показывает, что  при  .

Применим формулу (6) к вычислению длины дуги , когда она задана уравнениями (1’), при помощи параметра . Имеем (см. (6)).

.

В последнем равенстве этой цепи мы произвели замену переменной  в интеграле.

Следовательно, .

Мы видим, что формула (6) длины дуги выражается инвариантно через параметр дуги.

Введем функцию

         (8)

от верхнего предела интеграла. Она выражает длину дуги , где  - переменная точка дуги , соответствующая значению параметра . Под интегралом в (8) стоит непрерывная функция от , поэтому производная длины дуги  по  равна

.                   (9)

Так как  непрерывны, то  в свою очередь есть непрерывная функция от , при этом положительная  (см. § 7.3, (2)).  Но тогда  строго возрастает на  и  имеет обратную непрерывно дифференцируемую функцию

,                                          (10)

обладающую свойством

.

Но тогда переменная  может служить параметром нашей гладкой кривой  - уравнения  можно записать в виде

где функции  непрерывно дифференцируемы на .

Чтобы получить соответствующие результаты для плоской кривой , надо в предыдущих рассуждениях положить . Тогда гладкая плоская кривая  определяется двумя уравнениями

где  и  - непрерывно дифференцируемые функции, подчиняющиеся условию

.

Длина  равна

 .                        (6’)

Длина дуги , где  есть точка , соответствующая значению параметра

,                        (8’)

дифференциал  дуги равен

.                           (9’)

Если  задана при помощи непрерывно дифференцируемой функции

,

то можно считать, что  определяется параметром :

.

Тогда в силу (6’)

.

Дифференциал же дуги  выражается формулой

.

П р и м е р   1. Найти дугу кривой : , .

Имеем

.

П р и м е р   2. Найти длину окружности  радиуса . Окружность в параметрическом виде можно задать следующим образом:

.

Тогда

.

П р и м е р   3. Найти длину дуги кривой : , когда  изменяется в пределах от 0 до 2.

Отметим, что явную зависимость  от  можно найти, если мы вычислим интеграл, используя подстановку Эйлера или рассматривая этот интеграл как дробно-линейную иррациональность. Но в данном случае нам не нужна эта явная зависимость. Имеем . Поэтому

.