Глава 2. Предел последовательности

§ 2.1. Понятие предела последовательности

Пусть каждому натуральному числу  по некоторому закону поставлено в соответствие действительное или комплексное число .

Тогда говорят, что этим определена последовательность чисел  или, короче, последовательность

.

Говорят еще, что переменная  пробегает значения последовательности .

Отдельные числа   последовательности  называются ее элементами. Надо иметь в ввиду, что  и  при  считаются отличными как элементы последовательности, хотя не исключено, что как числа они равны между собой, т. е. может быть .

Если положить , то последовательность

превратится во множество

,

которое в § 1.6 тоже было названо последовательностью.

В этой главе мы будем рассматривать последовательности действительных чисел, и это обстоятельство не будем оговаривать особо.

Примеры последовательностей:

П р и м е р 1.  .

П р и м е р 2.  .

П р и м е р 3.  .

П р и м е р 4.  .

П р и м е р 5.   .

П р и м е р 6.   .

В примере 2 переменная  для четных  принимает одно и то же значение:

.

Тем не менее, мы считаем, что элементы  различны.

Если все элементы последовательности равны одному и тому же числу , то ее называют постоянной.

Легко видеть, что последовательности в примерах 1, 2 и 4 ограничены (см. § 1.6). В этом случае говорят также, что соответствующие переменные, пробегающие эти последовательности, ограничены. Что касается последовательностей в примерах 3, 5 и 6, то они неограниченны. Однако последовательность в примере 3, очевидно, ограничена снизу числом 2. Что касается последовательности в примере 6, то она не ограничена как снизу, так и сверху.

Введем понятие предела последовательности.

О п р е д е л е н и е 1. Число  называется пределом последовательности , если для всякого  найдется (зависящее от ) число  такое, что выполняется неравенство

                                      (1)

для всех (натуральных) .

В этом случае пишут

 или

и говорят, что переменная   или последовательность  имеет предел, равный числу  , или стремится к . Говорят также, что переменная  или последовательность сходится к числу .

Если , то, очевидно,  .

З а м е ч а н и е. Если , то ; и обратно. Это следует из того факта, что если

,

то

,

и обратно.

Переменная примера 1 имеет предел, равный 0:

     .                                            (2)

В самом деле, зададим произвольное  и решим неравенство:

 или . 

Этим для всякого  найдено число  такое, что неравенство

выполняется для всех , и мы доказали равенство (2).

П р и м е р 7.  Переменная примера 4 стремится к 1:

.                                              (3)

В самом деле, составим неравенство

.

Оно, как мы видели, выполняется для любого , если . Это доказывает равенство (3).

П р и м е р 8.  Если , то

.                                            (4)

В самом деле, пусть пока . Неравенство

верно, если

,

т. е. если

.

Мы доказали (4) при . Если , то равенство (4) тривиально. Ведь в этом случае переменная   есть постоянная, равная нулю:

.

П р и м е р  9. Разложим положительное число  в бесконечную десятичную дробь:

.

Для его  - й срезки

имеет место равенство

.                                      (5)

В самом деле,

.

Но если задать , то всегда найдется такое , что

,

(см. предыдущий пример, где надо считать ). Поэтому

,

и мы доказали (5).

З а м е ч а н и е. Срезки  - рациональные числа. Из (5) следует, что всякое действительное число является пределом последовательности рациональных чисел.

Таким образом, всякое иррациональное число можно приблизить рациональным числом с любой наперед заданной степенью точности.

В силу этого свойства про множество  рациональных чисел говорят, что оно всюду плотно в множестве  всех действительных чисел.

Неравенство

эквивалентно двум неравенствам

 или ,

что эквивалентно тому факту, что точка   принадлежит к - окрестности точки  :

  (см. § 1.10).

Тогда определение предела можно выразить следующими словами: Число (точка)  есть предел переменной  , если, каково бы ни было , найдется такое число , что все точки   с индексами   попадут в  - окрестность точки :

.

Очевидно, какова бы ни была окрестность  точки  , найдется такое ,  что интервал  содержится в , т. е.   (рис. 7).

Поэтому тот факт, что  можно выразить еще и так: какова бы ни была окрестность   точки  , все точки , начиная с некоторого номера , должны попасть в эту окрестность, т. е. должно существовать такое число , что . Что же касается точек  с индексами , то они могут принадлежать и могут не принадлежать к . Таким образом, если вне  имеются точки , то их конечное число.

Рис. 7                                                 Рис. 8

С другой стороны, если известно, что вне  имеется только конечное число точек ,  то, обозначив

,

т. е. максимум среди индексов , мы можем сказать, что точки   с индексом   попадут в интервал . Поэтому понятие предела можно сформулировать и так: переменная  имеет своим пределом точку , если вне любой окрестности этой точки имеется конечное или пустое множество точек .

П р и м е р 10. Переменная

                               (6)

ни к какому пределу не стремится.

В самом деле, допустим, что эта переменная имеет предел, равный числу . Рассмотрим окрестность этой точки

.

Длина ее равна . Очевидно, что эта окрестность не может содержать в себе одновременно и точку 1 и точку -1 , потому что расстояние между этими точками равно . Для определенности будем считать, что точка 1 не принадлежит к нашей окрестности. Но  для , т. е. вне нашей окрестности имеется бесконечное число элементов последовательности.

Таким образом, точка  не может быть пределом нашей последовательности, и так как эта точка произвольна, то последовательность (6) не имеет предела.

Т е о р е м а 1. Если переменная  имеет предел, то он единственный.

В самом деле, допустим, вопреки теореме, что   имеет два различных предела  и  . Покроем точки  соответственно интервалами ,   настолько малой длины, чтобы эти интервалы не пересекались (рис. 8). Так как , то в интервале  находятся все элементы  , за исключением конечного их числа, но тогда интервал  не может содержать в себе бесконечное число элементов  и   не может стремиться к . Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Т е о р е м а 2. Если последовательность сходится (имеет предел), то она ограничена.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть . Зададим  и подберем натуральное  так, чтобы

,

но тогда   и выполняется неравенство

для всех . Пусть   - наибольшее среди чисел

.

Тогда, очевидно,

.

Теорема доказана.

З а м е ч а н и е. Ограниченность последовательности является необходимым условием сходимости последовательности, но не достаточным, как показывает пример 10.

Т е о р е м а  3. Если переменная  имеет не равный нулю предел , то найдется такое , что

  для  .

Больше того, для указанных , если , то , если же , то . Таким образом, начиная с некоторого номера,  сохраняет знак .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть  . Тогда для  должно найтись число  такое, что

,

откуда , и первое утверждение теоремы доказано. С другой стороны, неравенство  эквивалентно следующим двум:

.

Тогда, если , то

,

а если , то

,

и этим второе утверждение теоремы доказано.

Т е о р е м а 4. Если ,  и  для всех , то .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что . Зададим  и подберем числа   и  так, чтобы : это возможно, потому что , а  .

Если  , то, очевидно, , и мы пришли к противоречию, так как по условию  для всех .

С л е д с т в и е.  Если элементы сходящейся последовательности  принадлежат , то ее предел также принадлежит .

Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, . Если , то по теореме 4 , что и требовалось доказать.

З а м е ч а н и е. Для интервала  для конечных  и  можно утверждать только, что если , то . Таким образом, неравенства в пределе сохраняются или обращаются в равенство. Например, , но .

Т е о р е м а 5. Если переменные и  стремятся к одному и тому же пределу  и , то переменная  также стремится к .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Задав   можно найти   и , такие, что

,

откуда для

и

,

что и требовалось доказать.

Т е о р е м а 6. Если , то .

Доказательство следует из неравенства .