Перемешивание

Эргодичсская теория развивалась преимущественно для обратимых сохраняющих меру преобразований, действующих в том или ином пространстве с конечной мерой. Поэтому при дальнейшем изложении теории я ограничусь именно этим случаем. Ниже всюду, где не будет оговорено противное, слово «преобразование» будет означать обратимое сохраняющее меру преобразование, а мера определенная в соответствующем пространстве X, будет предполагаться нормированной так, что

Мы видели, что если преобразование эргодично, то последовательность сходится в смысле Чсзаро к Справедливость этого утверждения для всех в действительности эквивалентна эргодичности. Чтобы доказать это, предположим, что измеримое инвариантное множество, и примем это множество как за так и за Тогда получим, что откуда равно или или 1. Это условие эргодичности может быть выражено и в функциональной форме, а именно: эргодично в том и только в том случае, если сходится в смысле Чезаро к каковы бы ни были из В доказательстве нуждается лишь необходимость. Для этой цели заметим, что если то в силу статистической эргодической теоремы сходится в среднем квадратичном к из неравенства Шварца следует, что — сходится в среднем степенью единица) к Поскольку из сходимости в смысле вытекает почленная интегрируемость и поскольку, в силу эргодичности, почти всюду, доказательство закончено.

Условие сходимости в смысле Чезаро допускает естественную наглядную интерпретацию. Мы можем представлять себе преобразование как частный случай перемешивания содержимого некоего сосуда (объема 1), заполненного несжимаемой жидкостью, которую будем

считать состоящей из 90% джина и 10% вермута. Если область, занятая первоначально вермутом, то для любой части рассматриваемого сосуда относительное содержание вермута в после -кратного перемешивания равно Таким образом, из эргодичности преобразования вытекает, что среднее значение этого относительного содержания равно в точности 10%. Вообще говоря, в физических условиях, вроде описанных выше, можно ожидать, что будет справедливо более сильное утверждение, а именно, что после достаточно большого числа перемешиваний каждая часть сосуда будет содержать примерно 10% вермута. На математическом языке это означает замену сходимости в смысле Чезаро обычной сходимостью, т.е. условием Если преобразование удовлетворяет этому условию для любой пары измеримых множеств то говорят, что является перемешивающим, или, чтобы отличить это свойство от аналогичного несколько более слабого свойства, — перемешивающим в сильном смысле.

Определение перемешивания можно сформулировать и в функциональном виде: является перемешивающим в том и только в том случае, когда стремится к при любых из понимается, естественно, унитарный оператор, порожденный Если характеристические функции множеств соответственно, то только что приведенная функциональная формулировка сводится к теоретико-множественной, принятой за определение. Общая функциональная формулировка выводится из теоретико-множественной с помощью двойного процесса аппроксимации. Прежде всего я утверждаю, что при любой фиксированной характеристической функции сформулированный результат справедлив для всех простых функций значит, в силу возможности -аппроксимации, — для всех функций из далее, я фиксирую и провожу аналогичные рассуждения для Так как то наш результат можно сформулировать следующим образом: преобразование есть перемешивание в том и только в том случае, ссли степени оператора сходятся, в смысле слабой сходимости операторов, к оператору определенному равенством Оператор представляет собой проектирование на подпространство констант.

Вращение (т.е. преобразование определяемое на группе вращений окружности равенством не является перемешиванием. Действительно, если то следовательно,

Отсюда следует, что в то время как Простейшим примером преобразования перемешивающего типа является преобразование пекаря, т. е. двусторонний сдвиг. Чтобы доказать это, зададим и выберем конечномерные множества аппроксимирующие Так как при больших то отсюда следует, что близко к при больших

Между эргодичностью и перемешиванием остается место для еще одного понятия — понятия перемешивания в слабом смысле. Это понятие, представляющееся несколько искусственным, технически очень важно. Преобразование является, по определению, слабым перемешиванием, если

для любых двух измеримых множеств Функциональная формулировка этого свойства, которая, как легко доказать, эквивалентна теоретико-множественной, гласит:

для всех из Говоря профессиональным языком, в определении слабого перемешивания участвует понятие сильной сходимости в смысле Чезаро взамен просто сходимости по Чезаро, имеющей место в случае эргодичности, и обычной сходимости, фигурирующей в определении сильного перемешивания.

С рассматриваемым сейчас типом сходимости связано несколько изящных аналитических упражнений. Для того чтобы проверить сделанное мной выше утверждение о месте, которое занимает понятие слабого перемешивания (между эргодичностью и сильным перемешиванием), следует доказать, что если сходящаяся последовательность

комплексных чисел, то и что если то Это доказать легко. Немного труднее, однако существенно интереснее, следующий факт: для ограниченной последовательности необходимое и достаточное условие справедливости равенства состоит в том, что существует множество целых положительных чисел которое имеет плотность пуль и обладает тем свойством, что если пробегает лишь значения, не принадлежащие ,7, то . (Выражение имеет плотность нуль» означает, что отношение числа номеров между и принадлежащих к общему их числу, т. е. к стремится к нулю при Если в приведенном выше примере с джином и вермутом эргодичность может быть выражена утверждением, что в среднем содержит 10% вермута, и если сильное перемешивание можно сформулировать так, что по истечении достаточно большого времени должно содержать 10% вермута, то можно сказать, что слабое перемешивание состоит в том, что по истечении достаточного времени содержит 10% вермута, за исключением некоторых редких моментов, в которые жидкость в может быть или слишком крепкой, или слишком сладкой.

Слабое перемешивание не является просто искусственным аналитическим понятием: его значение основано на том факте, что оно эквивалентно некоторым довольно естественным геометрическим и функциональным условиям. Чтобы сформулировать соответствующий результат, мне нужно ввести два новых понятия. Я буду говорить, что сохраняющее меру преобразование имеет непрерывный спектр, если единственным собственным значением отвечающего унитарного оператора является 1 и если это собственное значение простое. Это выражение ( имеет непрерывный спектр) не вполне точно. Так как константы всегда инвариантны относительно число 1 непременно должно быть собственным значением оператора так что всегда имеет какой-то точечный спектр. В соответствии с введенным нами только что словоупотреблением имеет непрерывный спектр, если точечный спектр оператора сводится к вышеуказанному неизбежному минимуму. Второе необходимое нам понятие — это декартов квадрат сохраняющего меру преобразования определенного в некотором пространстве преобразование определяется на X — декартовом

произведении X на себя формулой Унитарный оператор, порожденный преобразованием обозначим

Теорема о перемешивании. Преобразование является слабоперемешивающим в том и только в том случае, когда его спектр непрерывен или (другое условие) когда его декартов квадрат эргодичен.

Доказательство.

Предположим сперва, что является слабоперемешивающим. Чтобы доказать эргодичность преобразования достаточно доказать, что сходится (в смысле Чезаро) к если измеримые прямоугольники в здесь естественно, означает квадрат меры определенный в Если где измеримые множества из X, то Так как, по предположению, сходится (в смысле сильной сходимости по Чезаро) к и аналогично сходится (в том же смысле) к и так как то достаточно доказать следующую аналитическую лемму: ссли ограниченные последовательности, сходящиеся (в смысле сильной сходимости по Чезаро) к соответственно, то сходится (по Чезаро) к Это утверждение верно даже с запасом; в действительности стремится к по Чезаро, даже в сильном смысле. Этот результат получается непосредственно с помощью описания сильной сходимости по Чезаро в терминах сходимости вне некоторого множества плотности нуль, с учетом того факта, что объединение двух множеств плотности нуль есть снова множество плотности нуль.

Предположим теперь, что эргодично. Если собственная функция оператора скажем, то положим Получаем тогда, что так как эргодично, что константа. Но тогда ясно, что должно быть константой и. значит,

Предположим, наконец, что имеет непрерывный спектр; требуется доказать, что является слабоперемешивающим. Это наиболее глубокая часть всего доказательства. Я должен воспользоваться теоремой о спектральном разложении унитарных операторов и еще

кое каким вспомогательным аналитическим аппаратом. Заметим прежде всего, что достаточно установить равенство

отсюда с помощью стандартного построения полярной билинейной формы по квадратичной получаем общий результат (т. е. с вместо второго ). Если равно некоторой константе , то таким образом, достаточно установить интересующий нас результат при дополнительном условии Следующее замечание состоит в том, что достаточно установить стремление к нулю выражения — (Это относится к элементарному анализу: для ограниченных последовательностей сильная сходимость по Чезаро равносильна квадратичной сильной сходимости по Чезаро. Один из способов убедиться в этом состоит в описании этих сходимостей в терминах множеств плотности нуль; прямое доказательство также нетрудно построить.) Если разложение единицы для оператора то Так как, по условию, ортогонально всем собственным функциям оператора то отсюда следует, что мера определенная для всех борелевских множеств на окружности равенством равна нулю для каждого одноточечного множества. Другими словами, мера неатомична. Подлежащее доказательству утверждение сводится теперь к следующему: если неатомичная мера на окружности, то

Следующий шаг состоит в замене

сведении произведения интегралов к двойному интегралу и внесении знака суммирования под интеграл. Тогда нужный нам результат принимает вид

Из того, что мера неатомична, следует, что диагональ тора (т. е. декартова произведения окружности на себя) имеет -меру пуль. Отсюда следует, что подынтегральное выражение почти всюду равно

Теперь, поскольку это подынтегральное выражение стремится к нулю почти всюду и поскольку оно ограничено (действительно, оно не превышает 1, что видно из его представления в виде суммы), доказательство может быть завершено с помощью ссылки на теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла в случае ограниченных сходящихся последовательностей.