Некоторые новые проблемы и результаты эргодической теории

С. В. Фомин

За время, прошедшее после выхода в свет книги Халмоша, в теории динамических систем был получен ряд новых результатов, которые, в свою очередь, вызвали появление новых проблем. Кроме того, как уже отмечалось в предисловии, Халмош не упомянул и о некоторых более старых результатах, заслуживающих, на наш взгляд, внимания. Ниже мы изложим некоторые результаты, относящиеся к спектральной теории динамических систем, не вошедшие в книгу Халмоша.

Нормальные динамические системы

Теоремы Халмоша и Рохлина о категориях (см. стр. 98 и след.) показывают, что динамические системы со слабым перемешиванием, но без сильного, образуют в пространстве динамических систем множество второй категории. Так как системы, имеющие стандартный спектральный тип с любым конечным или бесконечным (определение см. на стр. 70) обладают сильным перемешиванием (доказательство этого факта см., например, в [1]), то отсюда следует, что эргодические динамические системы с непрерывным, но не лебеговским спектром существуют и даже образуют множество второй категории. Однако простейшие примеры систем с непрерывным спектром имеют именно лебеговский спектр. Индивидуальные примеры динамических систем с непрерывным не лебеговским спектром были найдены лишь в 1950 г. [2]. Они строятся следующим образом. Пусть X пространство двусторонних последовательностей действительных чисел сдвиг в этом пространстве (т. е. где Определим меру в пространстве X, положив, что

всякое множество А, определяемое системой неравенств

(где — заданные целые числа, заданные действительные числа), измеримо и

где фиксированная положительно определенная квадратичная форма, зависящая только от набора индексов число, определяемое из соотношения Эта мера при соответствующих условиях на будет инвариантна относительно сдвига а также будет удовлетворять соответствующим условиям согласованности, при которых она может быть продолжена, по известной теореме Колмогорова [3], с множеств указанного выше специального вида на борелевское замыкание совокупности таких множеств. Таким образом, мы получаем в пространстве X динамическую систему с инвариантной мерой Такие системы называются нормальными динамическими системами. С теоретико-вероятностной точки зрения нормальная система представляет собой не что иное, как гауссовский стационарный процесс с дискретным временем. Как известно, гауссовский стационарный процесс (т. е. мера однозначно определяется корреляционной последовательностью

представляет собой положительно определенную последовательность; обратно: всякая положительно определенная последовательность служит корреляционной последовательностью для некоторой меры. Последовательность можно представить, по теореме Бохнера, в виде

где (непрерывная слева) функция распределения, постоянная вне отрезка и удовлетворяющая соотношению вытекающему из вещественности чисел

Функция называется спектральной функцией гауссовской инвариантной меры Она полностью определяет меру а следовательно, и соответствующую нормальную динамическую систему. В частности, определяет все спектральные свойства системы. Если непрерывна, то соответствующая нормальная динамическая система эргодична и имеет непрерывный спектр. Полное восстановление спектра системы по заданной представляет значительные трудности. Исчерпывающим образом удается описать лишь все возможные максимальные спектральные типы. Максимальный спектральный тип всякой нормальной динамической системы обладает тем свойством, что свертка его с самим собой ему подчинена. Кроме того, является четным, т.е. симметричен относительно точки . (Этим последним свойством обладают все спектральные типы любой динамической системы.) Оказалось, что каков бы ни был спектральный тип, обладающий этими двумя свойствами, существует нормальная динамическая система, для которой служит максимальным типом. Отсюда видно, что, помимо лебеговского непрерывного спектра, с помощью нормальных динамических систем можно получить и другие спектральные типы.

Хотя полный анализ спектра нормальной динамической системы представляет собой весьма трудную задачу, в некоторых случаях ее можно довести до конца. В частности, как показал недавно И. В. Гирсанов [4], можно построить нормальную эргодическую динамическую систему с непрерывным простым спектром. Для этого нужно рассмотреть меру с такой спектральной функцией, точки роста которой образуют совершенное множество (лсбсговской меры пуль), между элементами которого нет нетривиальных целочисленных соотношений. Тем самым получено положительное решение давно поставленного вопроса о существовании динамических систем с простым непрерывным спектром.