Некоторые проблемы

В дополнение к сформулированным Халмошем проблемам эргодичеекой теории (некоторые из которых были решены после выхода книги Халмоша) укажем еще несколько проблем, относящихся к спектральной теории динамических систем.

1. В связи с тем, что теперь установлено существование эргодических динамических систем с простым непрерывным спектром, становится содержательным следующий вопрос: существуют ли эргодические динамические системы с одним и тем же простым спектром и не изоморфные между собой? Поскольку точечный спектр эргодических систем всегда простой, отрицательное решение этого вопроса было бы существенным обобщением известной теоремы о том, что эргодическая система с чисто точечным спектром определяется своим спектром с точностью до изоморфизма.

2. Как сказано выше, в работе А. Н. Колмогорова [8] доказано, что спектр эргодичеекой динамической системы, определяемой на торе уравнениями

с аналитической функцией может быть чисто точечным с двумя образующими, а может быть и непрерывным. В связи с этим результатом возникают следующие вопросы:

1) какой именно непрерывный спектр может иметь система (а);

2) может ли система иметь чисто точечный спектр, отличный от группы с двумя образующими (по-видимому, нет);

3) может ли система иметь смешанный спектр (по-видимому, нет).

По поводу первого вопроса не известно ничего. На второй и третий вопросы можно дать отрицательные ответы, если предположить непрерывность собственных функций. Заметим попутно, что можно легко построить эргодическую динамическую систему со смешанным спектром, определяемую дифференциальными уравнениями, на торе трех или большего числа измерений.

3. Как известно [7], геодезический поток на компактной поверхности постоянной отрицательной кривизны имеет счетпократпый лебеговский спектр. Для геодезических потоков на поверхностях переменной (ограниченной сверху и снизу) кривизны известно лишь, что они обладают перемешиванием (откуда вытекает непрерывность спектра). Может ли в случае переменной кривизны получиться спектр, отличный от лебеговского?

4. Во всех известных примерах эргодических динамических систем, определяемых системой дифференциальных уравнений на -мерном гладком многообразии, точечный спектр представляет собой группу, не более чем с к образующими. Однако никакой теоремы, устанавливающей неизбежность такого положения дел в общем случае, не существует. Таким образом, остается нерешенной задача: доказать, что точечный спектр эргодической динамической системы, определяемый на гладком -мерном многообразии системой дифференциальных уравнений с непрерывными коэффициентами, представляет собой группу, не более чем с к образующими (или построить противоречащий пример).

5. Описанные выше «нормальные динамические системы» обладают тем свойством, что свертка максимального спектрального типа такой системы с самим собой эквивалентна или подчинена ему. Это свойство представляет собой довольно естественный континуальный аналог того факта, что собственные значения эргодической

динамичсской системы с чисто точечным спектром образуют группу. Возможно, что вышеуказанным свойством обладают максимальные спектральные типы всех (а не только нормальных) эргодических систем. Однако вопрос этот пока остается открытым.

6. Найденный А. Н. Колмогоровым новый инвариант динамических систем — энтропия на единицу времени — дает возможность более тонкой (чем по одним только спектральным свойствам) классификации динамических систем. Возникает вопрос, будет ли эта классификация исчерпывающей? Иначе говоря, всегда ли две эргодические динамические системы, имеющие один и тот же спектр и одну и ту же энтропию на единицу времени, изоморфны между собой?

Литература

(см. скан)