Возвращаемость

Для того чтобы рассматривать асимптотические свойства сохраняющего меру преобразования т.е. свойства последовательности нужно, чтобы сами степени имели смысл; поэтому мы в дальнейшем ограничимся рассмотрением таких преобразований, которые переводят некоторое множество X само в себя. Первые по времени и наиболее простые из вопросов, относящихся к асимптотике, были поставлены Пуанкаре (Calcul des probability, 1912); они относятся к понятию возвращаемости. Пусть измеримое преобразование, заданное на измеримое подмножество; точка называется возвращающейся (относительно если хотя бы для одного целого положительного Первый приводимый ниже результат типичен для данного круга вопросов.

Теорема о возвращении. Если сохраняющее меру (но не обязательно обратимое) преобразование, определенное в пространстве с конечной мерой, и если некоторое измеримое множество, то почти все точки лтожества возвращающиеся.

Доказательство.

Предположим противное; тогда множество тех точек из которые в никогда не возвращаются, имеет положительную меру. Измеримость вытекает из равенства

Если то ни одна из точек не принадлежит другими словами: не пересекается с ни при каком целом положительном Отсюда следует, что множества попарно пересекаются, так как

Так как сохраняет меру, а мера всего пространства конечна, то мы пришли к противоречию.

Из доказанной сейчас теоремы о возвращении можно вывести более сильную ее формулировку. Верно не только то, что для почти всех по крайней мере один из членов последовательности принадлежит в действительности для почти всех существует бесконечно много таких значений что Идея доказательства здесь состоит в том, что теорема о возвращении применяется к каждой степени Точнее говоря, пусть есть множество тех точек из которые никогда не возвращаются в преобразованием ; тогда, по теореме о возвращении, Если то для некоторого положительного поскольку Возьмем так как то при некотором положительном k. Усиленный вариант теоремы о возвращении получается индуктивным повторением этого рассуждения, проведенного нами дважды.

В доказательстве первоначальной теоремы о возвращении сохраняющий меру характер рассматриваемого преобразования и конечность меры использовались лишь в весьма слабой степени. Единственно существенным фактом было лишь отсутствие такого множества положительной меры, что попарно не пересекаются. Исходя из этого замечания, введем следующее понятие: измеримое преобразование называется диссипативным, если существует такое измеримое множество положительной меры, что множества попарно не пересекаются (такое множество называется блуждающим); в противном случае преобразование называется консервативным. Ясно, что теорема о возвращении в слабой формулировке справедлива для любого консервативного преобразования.

Доказательство усиленной теоремы о возвращении опирается на применимость ослабленной теоремы к любой степени преобразования. Ясно, что если диссипативно, то тем же свойством обладают и все степени Это не совсем то, что нам надо. Мы смогли бы распространить усиленную теорему о возвращении на все консервативные преобразования, если бы знали, что любая степень консервативного преобразования сама обладает свойством консервативности.

В этот вопрос вносит известную ясность следующее новое понятие: мы скажем, что преобразование является сжимающим, если существует такое измеримое множество что В противном случае преобразование называется несжимающим. Понятие сжимаемости, которым пользоваться несколько удобнее, чем

понятием диееипативноети, на самом деле эквивалентно последнему. Действительно, если причем то положим тогда множества попарно не пересекаются. С другой стороны, если такое множество положительной меры, что множества попарно не пересекаются, то, положив получим, что

В свое время доказал (Ann. of Math., 1947, стр. 738), что если взаимно-однозначное преобразование несжимающее, и если измеримо, то и любая степень песжимающая. Это доказательство носит комбинаторный характер и несколько запутано. Нетрудно было бы выяснить, остается ли указанный результат в силе, если преобразование не является взаимно-однозначным; у меня такое впечатление, что некоторая модификация доказательства, проведенного в предположении взаимной однозначности, должна пройти и в общем случае.

В связи с понятием сжимаемости стоит отметить, что взаимно-однозначное измеримое преобразование, имеющее измеримое обратное, определенное на пространстве с конечной мерой, всегда имеет, по существу однозначно определенную, не сжимающую часть. Точнее: существует такое измеримое инвариантное подмножество У (т.е. ), что является несжимающим на У, и существует такое блуждающее множество что есть сумма множеств (Идея доказательства: пусть по всем блуждающим множествам построим последовательность блуждающих множеств таких, что и примем за У дополнение наименьшего инвариантного множества, содержащего все Обобщение этого результата на преобразования, не являющиеся взаимно-однозначными, по-видимому, представляет собой довольно деликатную задачу. Укажу хотя бы на такой пример: в качестве X берем множество всех неотрицательных целых чисел и полагаем если

Приведенные выше рассуждения намекают на две возможности, каждая из которых фактически реализуема. Во-первых, сохраняющее меру преобразование пространства с бесконечной мерой не обязано быть консервативным, даже если оно обратимо. Пример: на дискретном пространстве всех целых чисел. Теорема о возвращении для этого неверна. Во-вторых, взаимно-однозначное, сохраняющее меру преобразование не обязано быть обратимым.

Пример: пусть X — множество целых чисел; назовем подмножество из X измеримым в том и только в том случае, если его пересечение со множеством неотрицательных целых чисел инвариантно относительно всех транспозиций, меняющих местами положим далее Этот пример показывает также, что объединение двух сжимаемых множеств может не быть сжимаемым; рассмотрим неотрицательные целые и отрицательные четные числа в качестве одного множества и неотрицательные целые и отрицательные нечетные числа в качестве другого.

Содержание теоремы о возвращении можно сформулировать с помощью характеристической функции (обозначим ее множества следующим образом: для почти всех ряд расходится. Этот результат можно обобщить: если произвольная неотрицательная измеримая функция, то для почти всех х, принадлежащих множеству ряд расходится. Доказательство не представляет труда. Рассмотрим для каждого целого положительного к множество на котором Из теоремы о возвращении следует, что для почти всех бесконечно много точек вида принадлежит требуемый результат получается суммированием всех