Алгебры с мерой

Эргодическую теорию можно излагать в трех различных аспектах; их можно адекватно охарактеризовать словами алгебраический, геометрический и аналитический. Геометрическому аспекту уделялось до сих пор наибольшее внимание; ему отвечает рассмотрение преобразований того или иного пространства с мерой. Аналитический аспект также был упомянут: ему отвечает рассмотрение линейных операторов, порождаемых преобразованием, в различных пространствах Алгебраический аспект является, по моему мнению, самым ясным и наиболее естсствепным; ему отвечает рассмотрение групп автоморфизмов некоторых определенных булевских алгебр.

Многие из трудностей теории меры и вся имеющаяся здесь патология возникают в связи с существованием множеств меры нуль. Алгебраическая трактовка обходит все эти неприятности путем отказа от рассмотрения отдельных множеств вообще; вместо этого рассматриваются классы множеств, сравнимых по модулю множеств меры нуль. Предположим, для определенности, что X есть пространство с нормированной мерой то и В — совокупность всех классов эквивалентности измеримых множеств, причем два измеримых множества называются эквивалентными в том и только в том случае, если их симметрическая разность имеет меру нуль. Множество В представляет собой булевскую алгебру с обычными булевскими операциями. Действительно, если и пары эквивалентных между собой множеств, то эквивалентно отсюда видно, что «соединение» двух классов эквивалентности однозначно определяется, если из каждого класса выбрать по представителю и рассмотреть класс, содержащий соединение этих представителей. То же самое верно для пересечений и дополнений, и. поскольку мера сигма-аддитивна, это верно и для счетных соединений и пересечений. Нулевым элементом булевской алгебры В является класс всех множеств меры нуль, единичным

элементом — класс всех множеств меры 1. Поскольку из следует, что можно считать, что функция то определена на 5; она, очевидно, представляет собой некоторую меру, определенную на В. Единственным элементом из В, имеющим меру нуль, является пулевой элемент; аналогично, меру единица имеет только единичный элемент. Структура типа т.е. булевская сигма-алгебра со строго положительной нормированной мерой, называется алгеброй с мерой. Алгебра с мерой представляет собой алгебраический эквивалент геометрического понятия пространства с мерой.

Сохраняющее меру преобразование пространства X порождает, естественным образом, отображение В в себя. Образ какого-либо класса эквивалентности при этом отображении можно определить, выбрав в нем некоторый представитель и рассмотрев класс эквивалентности, содержащий из того, что сохраняет меру, следует, что класс, являющийся образом, определяется однозначно и имеет ту же самую меру, что и исходный класс. Определенное таким образом сохраняющее меру отображение алгебры В в себя мы обозначим Отображение сохраняет в В все булевские операции (в том числе и над счетными множествами элементов); оно представляет собой изоморфное отображение алгебры В в (но не обязательно на) себя. Отображение будет автоморфизмом алгебры В в том и только в том случае, когда преобразование обратимо.

Ряд понятий и результатов эргодичеекой теории легко может быть распространен на соответствующие отображения алгебр с мерой; фактически вся теория может быть изложена в этих рамках. Вместо того чтобы поступать таким образом, я постараюсь воспользоваться преимуществами как той, так и другой точки зрения: в дальнейшем будут применяться как алгебраическая, так и геометрическая концепции; выбор той или иной из них будет диктоваться каждый раз соображениями удобства.

Если В — алгебра с мерой, отвечающая пространству с мерой X, то каждое обратимое сохраняющее меру преобразование пространства X порождает некоторый автоморфизм алгебры В. Обратно, можно ли утверждать, что каждый автоморфизм алгебры порождается таким образом? Ответ здесь, вообще говоря, отрицательный. Существуют такие крайне патологические пространства с мерой, которые в некотором смысле абсолютно неизмеримы; одно из проявлений этой патологии состоит в том, что в этих пространствах не существует такого

количества сохраняющих меру преобразований, которое было бы достаточно для того, чтобы породить все автоморфизмы соответствующей булевской алгебры. Поскольку можно считать, что множества меры нуль не существенны не только с алгебраической, но также и с физической точки зрения и поскольку каждая алгебра с мерой может быть реализована в виде алгебры, связанной с непатологическим пространством с мерой, мы можем спокойно не принимать во внимание такого рода бедные преобразованиями патологические пространства. Тот факт, что алгебра с мерой может иметь больше автоморфизмов, чем существует преобразований в порождающем ее пространстве с мерой, является преимуществом этой алгебры, а отнюдь не недостатком.

Приведенные выше нравоучительные рассуждения можно несколько конкретизировать, рассмотрев следующий вопрос: когда два обратимых сохраняющих меру преобразования следует считать по существу совпадающими? На этот вопрос имеются три возможных ответа. Если рассматриваются как преобразования пространства с мерой X, то точный ответ таков: различаются несущественно, если существует обратимое сохраняющее меру преобразование пространства X, такое, что в этом случае называются (геометрически) подобными. Если рассматриваются как автоморфизмы алгебры с мерой В. то точный ответ состоит в следующем: должен существовать автоморфизм этой алгебры, такой, что в этом случае называются (алгебраически) сопряженными. Если, наконец, рассматриваются как унитарные операторы в гильбертовом пространстве то точный ответ состоит в том, что в существует такой унитарный оператор что в этом случае называются (спектрально) эквивалентными. Для дальнейшего полезно отметить, что понятия подобия, сопряженности и эквивалентности можно также определить и для таких пар преобразований, которые действуют не обязательно в одном и том же пространстве; в этом случае (вспомогательное) преобразование должно отображать область определения одного преобразования на область определения другого. Очевидно, что из подобия вытекает сопряженность, а из сопряженности — эквивалентность. Утверждать обратное нельзя ни в первом, ни во втором случае. Из эквивалентности не следует сопряженность в силу одной интересной и веской алгебраической причины; мы сейчас рассмотрим существующее здесь положение. Подобие вытекает из сопряженности во всех «порядочных» пространствах с мерой, но не вытекает

из нее в «непорядочных»; в силу этих соображений мы не будем уделять внимания понятию подобия.

Я закончу этот раздел обсуждением связи между понятиями сопряженности и эквивалентности. Пусть В алгебра с мерой, отвечающая некоторому пространству с мерой и соответствующая мера. Если автоморфизм алгебры В, то порождаемый унитарный оператор сохраняет не только норму и линейную структуру пространства Дополнительные условия вытекают из того, что элементы пространства являются не просто абстрактными векторами; будучи функциями (или, точнее, классами эквивалентных между собой функций), они обладают еще и мультипликативными свойствами. Если мы для осторожности будем рассматривать лишь ограниченные функции, то умножение не будет выводить нас за пределы и унитарный оператор будет сохранять произведение. Это условие на оказывается достаточным, так же как и необходимым, для того, чтобы оператор порождался некоторым автоморфизмом.

Теорема об умножении. Унитарный оператор порождается, некоторым автоморфизмом алгебры В в том и только в том случае, когда как так и переводят каждую ограниченную функцию снова в ограниченную и когда для любых ограниченных функций

Доказательство.

Достаточно доказать, что если оператор мультипликативен и сохраняет ограниченность функций, то он порождается автоморфизмом. Пусть характеристическая функция, отвечающая некоторому элементу алгебры В, тогда следовательно, Отсюда видно, что также является характеристической функцией, отвечающей, скажем, элементу Если мы обозначим через то будет представлять собой отображение алгебры В в себя. Из того, что есть отображение «на», следует, что и тоже представляет собой отображение «на», а из того, что не переводит в нуль никакое ненулевое подпространство, вытекает, что если то Доказательство можно завершить, показав, что является сохраняющим меру сигма-гомоморфизмом. То, что сохраняет меру, вытекает из сохранения нормы оператором вспомним, что Тот факт, что переводит пересечение снова в пересечение, вытекает из мультипликативности оператора Сохранение суммы при отображении

следует из того, что если характеристические функции множеств, скажем, то характеристической функцией множества будет Для доказательства сохранения счетного суммирования нужно воспользоваться (после очевидного индуктивного рассуждения) непрерывностью оператора

Соотношение между сопряженностью и эквивалентностью теперь ясно. Если автоморфизмы, то необходимое и достаточное условие их сопряженности состоит в том, чтобы они были эквивалентны и чтобы унитарный оператор, осуществляющий эту эквивалентность, можно было бы выбрать мультипликативным.