Точечная сходимость

Обратимся теперь к эргодичеекой теореме Биркгофа. Излагаемое доказательство принадлежит (опять-таки) Риссу (F. Ricsz, Commentarii, 1945, стр. 221). Оно начинается с некоторых любопытных комбинаторных рассуждений.

Пусть конечная система действительных чисел и то целое число, причем то Член этой системы мы назовем -лидером, если существует такое целое положительное что то и Так, например, -лидером будет всякий неотрицательный член нашей системы; заметим, однако, что -лидер при не обязан быть неотрицательным.

Лемма. Сумма всех -лидеров неотрицательна.

Доказательство.

Если -лидеров вообще пет, то наше утверждение справедливо. Далее, пусть первый из -лидеров, и пусть самая короткая из неотрицательных сумм, отвечающих -лидеру . Я утверждаю, что каждое в этой сумме является -лидером, причем Действительно, если это не так, то что противоречит первоначальному выбору Рассмотрим теперь последовательно элементы сумма всех неотрицательных сумм, полученных аналогичным образом и состоящих из минимального числа элементов, и представляет собой как раз сумму всех -лидеров.

Индивидуальная эргодическая теорема. Пусть сохраняющее меру (но не обязательно обратимое) преобразование пространства X (мера которого может быть и бесконечна), и пусть тогда средние — сходятся почти всюду, причем предельная функция интегрируема и инвариантна (т.е. почти всюду). Если

Доказательство.

Ясно, что функцию можно без ограничения общности считать действительной. Для сокращения записи мы будем писать вместо Доказательство начинается с установления одного вспомогательного предложения, имеющего, впрочем, собственное, достойное уважения имя.

Максимальная эргодическая теорема. Если множество таких точек х в которых хоть одна из сумм неотрицательна,

Пусть множество тех точек х, в которых хотя бы одна из сумм неотрицательна при Ясно, что образуют неубывающую последовательность и их сумма есть поэтому достаточно доказать, что для всех

Пусть произвольное целое положительное число; для каждой точки х рассмотрим -лидеры последовательности и пусть их сумма. Пусть D - множество таких точек х, для которых является -лидером последовательности и пусть его характеристическая функция. Так как множество измеримо и то измерима и интегрируема. Поэтому из доказанной выше леммы вытекает, что

Заметим далее, что если то следующие условия, налагаемые на точку х попарно эквивалентны:

Другими словами, откуда при

Следовательно,

(последнее равенство получается заменой на х), так что каждый из начальных членов суммы равен первому из них. Так как, очевидно, то из вытекает, что

(последние то членов суммы заменены их очевидными мажорантами). Для завершения доказательства максимальной эргодической теоремы остается полученное неравенство разделить на и затем перейти в нем к пределу при

Докажем теперь собственно эргодическую теорему. Пусть действительные числа и пусть множество всех тех точек х, для которых

Ясно, что множество измеримо и инвариантно относительно (т.е. ); докажем теперь, что конечна, а затем, что

Можно предположить, что если это не так, то и можно рассматривать и вместо соответственно. Пусть С — произвольное подмножество множества измеримое и имеющее конечную меру. Пусть, далее, характеристическая функция множества С. Применим максимальную эргодическую теорему к вместо Если множество, играющее для этой функции ту же роль, что и для то мы получаем Пусть так что тогда по крайней мере одно из средних должно быть больше, чем (на самом деле этому условию должно удовлетворять много таких средних); отсюда следует, что по крайней мере одно из выражений вида неотрицательно. Другими словами, Воспользовавшись этим, а также максимальной эргодической теоремой, я прихожу к выводу,

что следовательно, . Я доказал, таким образом, что ссли некоторое измеримое подмножество множества имеет конечную меру, то его мера не превосходит отсюда (в силу сигма-конечности меры) следует, что Так как инвариантно относительно то можно вместо пространства X рассматривать множество и затем применить максимальную эргодическую теорему к (интегрируемой!) функции поскольку множество фигурирующее в максимальной эргодической теореме, совпадает в этом случае с то из сказанного следует, что Применив аналогичным образом максимальную эргодическую теорему к а получим, что Складывал два последних неравенства, получаем так как по условию то отсюда следует, что

Применяя полученный таким образом результат ко всевозможным парам рациональных чисел получаем, что интересующие нас средние действительно стрсмятся к некоторому пределу почти всюду. Далее, так как

то предельная функция интегрируема (в силу леммы Фату) и, следовательно, конечна почти всюду. Тот факт, что инвариантна, является тривиальным следствием элементарных свойств сходимости в смысле Чезаро.

Остается только доказать, что если конечна, то интегралы от и от равны между собой. Это опять-таки вытекает из максимальной эргодической теоремы. Если а почти всюду, то при каждом по крайней мере одна из сумм должна быть неотрицательна; отсюда вытекает, что при всех следовательно, что

Ясно, что аналогичным образом из того, что всюду вытекает, что Обозначим множество тех точек х, в которых и применим написанные выше неравенства к преобразованию рассматриваемому лишь на (инвариантном) множестве Получим

Эти последние неравенства справедливы также и для Отсюда следует, что

суммируя по k. получаем

Так как произвольно, то доказательство эргодичеекой теоремы закончено.