Динамические системы на торе

Динамические системы, связанные с реальными задачами механики, весьма сложны. Поэтому в теории динамических систем важную роль играет исследование различного рода модельных примеров. Одной из таких простейших, по в то же время достаточно содержательных и интересных моделей являются динамические системы на торе.

Рассмотрим динамическую систему, определяемую дифференциальными уравнениями:

где аналитические функции с периодом по х и по у. Если эта система — эргодическая, то, как показал А. И. Колмогоров [8], ее можно с помощью аналитического же преобразования переменных привести к виду

аналитическая периодическая функция, иррациональное число. В этих новых переменных инвариантная мера на торе задается формулой

С наглядно-геометрической точки зрения переход от системы (1) к (2) означает «выпрямление» траекторий системы (если изобразить тор в виде квадрата то каждая траектория системы (2) изобразится при этом системой прямолинейных отрезков).

В упомянутой выше работе А. Н. Колмогорова показано, что если константа «не слишком хорошо аппроксимируется рациональными дробями», то спектр динамической системы (2) всегда при любом выборе чисто точечный, с двумя образующими. Если же аппроксимируется рациональными дробями «аномально хорошо», то спектр системы (2) может быть как точечный, так и непрерывный.

Изучение динамических систем на торе, несмотря на их кажущуюся простоту, приводит к трудным и весьма содержательным вопросам, многие из которых остаются еще открытыми.