Автоморфизмы компактных групп

Одна из выдающихся проблем эргодической теории состоит в том, чтобы выяснить, в какой мере результаты, полученные для преобразований с дискретным спектром, остаются в силе, если дискретность спектра не предполагается. Все, что можно сделать в данный момент, это указать довольно скудный запас относящихся сюда примеров.

Для того чтобы рассмотреть самый известный пример преобразования с непрерывным спектром, я начну с одного замечания, относящегося к полным ортогональным нормированным системам в Если такая система функций на пространстве с мерой такая же система функций на пространстве с мерой и если функции определены на декартовом произведении пространств формулой то полная нормированная система функций на Этот результат непосредственно распространяется на случай произведения любого конечного числа пространств. В известном смысле этот результат распространяется и на случай бесконечного члена сомножителей. Чтобы получить базис в пространстве построенном на произведении бесконечного числа пространств, в каждом из которых введена нормированная мера, нужно выбрать по базису (содержащему постоянную функцию, равную 1) в пространствах отвечающих каждому из этих сомножителей, и составить всевозможные конечные произведения элементов этих базисов.

Пусть пространство, состоящее из точек —1 и 1 (каждая из этих точек имеет меру тогда базис в соответствующем пространстве можно составить из константы 1 и тождественной функции определяемой равенством Отсюда и из сделанных выше замечаний о базисе в произведении пространств сразу видно, как построить бази с, скажем, в пространстве X двусторонних последовательностей чисел —1 и 1. (До сих пор мы рассматривали последовательности из нулей и единиц. Разница здесь только в обозначениях.) Если означает, при каждом целом функцию, равную координате точки из X, то базис в пространстве функций на X состоит из всевозможных конечных произведений функций константа 1 может быть

включена в эту схему, если рассматривать ее как произведение пустого множества сомножителей.

Предположим теперь, что двусторонний сдвиг в пространстве порожденный им унитарный оператор. Два элемента только что описанного базиса, составленного из конечных произведений, назовем -эквивалентными, если какая-либо целая степень оператора переводит один из них в другой. Функция 1 составляет свой собственный класс -эквивалентности; остальные элементы базиса распадаются на счетное число классов -эквивалентности, каждый из которых бесконечен. Каждый из этих классов находится очевидным образом во взаимно-однозначном соответствии с множеством всех целых чисел; действие оператора в таком классе состоит в том, что он переводит элемент, отвечающий числу в элемент, отвечающий числу Следовательно, в терминах гильбертова пространства (т.е. с точностью до спектральной, или унитарной, эквивалентности) оператор может быть описан так: существует такой базис, состоящий из вектора и бесконечной матрицы векторов где что при всех Описанная здесь ситуация встречается достаточно часто, чтобы для придумать специальное краткое название. Если для унитарного оператора существует базис, который ведет себя как это описано выше, с той лишь разницей, что мощность множества возможных значений первого индекса может быть иной, и если эта мощность равна (конечному или бесконечному) то я буду говорить, что имеет тип На этом языке двусторонний сдвиг следует назвать оператором типа алеф-нуль.

Если произвольное пространство с нормированной мерой, то не представляет труда построить пространство X двусторонних последовательностей где и определить декартово произведение мер в После этого можно определить в X двусторонний сдвиг; техника, с помощью которой было установлено, что это преобразование является эргодическим (фактически перемешивающим в сильном смысле) в случае двухточечного позволяет получить те же самые результаты и для рассматриваемого общего случая. Если не слишком велико (точнее говоря, если сепарабельно или. что эквивалентно, если пространство над сепарабельно), то соответствующий обобщенный сдвиг имеет спектральный тип алеф-нуль. (Ситуация не слишком отличается и в случае несепарабельного ;

меняется лишь мощность, отвечающая спектральному типу.) В частности, сдвиг троичных и сдвиг двоичных последовательностей имеют один и тот же тип. Выражаясь более обычным языком, эти два преобразования эквивалентны. Являются ли они сопряженными или нет — это одна из самых волнующих нерешенных проблем эргодической теории.

Если то мультипликативная абелева группа. Введем в дискретную топологию, что превратит в компактную абелеву группу, и образуем декартово произведение X счетного числа экземпляров группы Компактная абелева группа X может быть отождествлена с пространством двусторонних двоичных последовательностей. С теоретико-групповой точки зрения сдвиг в этом пространстве обладает следующим важным свойством: он представляет собой непрерывный автоморфизм группы Обобщенные сдвиги также могут быть отождествлены аналогичным образом с непрерывными автоморфизмами определенных компактных абелевых групп. Тот факт, что все они имеют, при соответствующих предположениях счетности, тип алеф-нуль, является частным случаем теоремы, которая будет доказана немного позже.

Предположим, что X компактная абелева группа, и пусть С ее группа характеров. Известно, что если непрерывный автоморфизм группы X, то сохраняющее меру преобразование на X (по отношению к мере Хаара). Пусть унитарный оператор, порожденный Легко проверить, что если то и, более того, отображение рассматриваемое на С, является автоморфизмом группы С. В частности, если то имеет смысл говорить о траектории элемента (относительно преобразования под этим понимается, конечно, совокупность всех характеров вида где целое. Если единичный характер, то его траектория состоит только из него самого. Если не имеет других конечных траекторий, то я буду говорить, для краткости, просто, что не имеет конечных траекторий.

Теорема об автоморфизмах. Если непрерывный автоморфизм компактной абелевой группы X эргодичен, то порожденный им автоморфизм группы характеров С не имеет конечных траекторий. Если не имеет конечных траекторий, имеет стандартный тип конечно или бесконечно) и, следовательно, является перемешивающим в сильном смысле.

Доказательство.

Предположим, что траектория (относительно некоторого конечна, и пусть наименьшее целое положительное число, для которого Тогда траектория элемента состоит из если сумма всех этих функций, то Так как характеры попарно ортогональны и, следовательно, линейно независимы, то отлично от постоянной и исэргодично.

Предположим теперь, что не имеет конечных траекторий. Из того, что характеры группы X образуют базис в соответствующем следует, что имеет тип при некотором остается показать, что преобразование такого типа обязательно является перемешивающим. Это — в чистом виде лемма о гильбертовом пространстве. Рассмотрев по отдельности каждую из строк матрицы базисных векторов и вспомнив функциональную форму определения сильного перемешивания, мы сведем нашу задачу к следующей: если базис в гильбертовом пространстве, и если такой унитарный оператор, что то слабо стремится к 0, т.е. при любых Достаточно доказать это утверждение для того случая, когда оба вектора базисные; общий случай получается отсюда сразу с помощью обычных соображений линейности и непрерывности. Но указанный частный случай тривиален: если то следовательно, при всех достаточно больших

Из доказанной теоремы непосредственно вытекает, что для непрерывных автоморфизмов компактных абелевых групп эргодичность равносильна перемешиванию. Эта теорема была обобщена на некоммутативные группы, см. Kaplansky, Can. J. of Math., 1949, стр. 111.

Верна более сильная формулировка этой теоремы; с помощью чисто теоретико-групповых соображений я доказал в свое время, что кардинальное число должно быть обязательно бесконечным (Bull. Amer. Math. Soc., 1943, стр. 621). (Вообще вопрос о существовании сохраняющих меру преобразований конечного типа остается открытым.) Во многих частных случаях тот факт, что бесконечно, усматривается непосредственно: общий случай выглядит следующим образом.

Теорема о бесконечной кратности. Если автоморфизм некоторой абелевой группы С имеет только бесконечные траектории, за

исключением тривиальной траектории то число этих траекторий бесконечно (предполагается, что

Доказательство.

Предположим, что число траекторий конечно. Случай I: С имеет конечное число образующих. Из основной теоремы об абелевых группах следует, что тогда С имеет лишь конечное число элементов конечного порядка. Поскольку все элементы, принадлежащие одной и той же траектории, имеют одинаковый порядок, отсюда следует, что С — группа без кручения, а тогда в С должны содержаться элементы любой высоты. (Высотой элемента называется наибольшее из чисел таких, что при каком-либо .) Поскольку все элементы одной и той же траектории имеют одинаковую высоту, получаем, что число траекторий должно быть бесконечно, — противоречие. Случай II: С произвольна. Достаточно доказать, что С содержит нетривиальную подгруппу, имеющую конечное число образующих и инвариантную относительно . Если то должны существовать два формально различных члена последовательности принадлежащих одной и той же траектории, скажем Сократи в формально одинаковые члены, я получу соотношение вида где Отсюда следует, что подгруппа, порожденная элементами инвариантна относительно . (Это изящное доказательство проще, чем мое первоначальное; оно принадлежит В. А. Рохлину, Известия АН СССР, 1949, стр. 329.)

Рассмотрим важный частный случай теоремы об автоморфизмах, приняв за группу X тор. Мы уже знаем, что всякий автоморфизм тора X определяется унимодулярной матрицей по формуле Каждый характер группы X имеет вид где пит — целые. Отсюда следует, что так что и действует на группу характеров С группы X (т.е. на плоскую целочисленную решетку), как транспонированная матрица чисто алгебраических соображений вытекает, что не имеет конечных траекторий в том и только в том случае, если среди собственных значений матрицы нет корней из единицы. (Доказательво

Пусть траектория точки относительно конечна, скажем Обозначив через корень степени к из единицы, заметим, что — комплексный собственный вектор матрицы отвечающий собственному значению Обратно, если является собственным значением для то вырожденное линейное преобразование векторного пространства над полем рациональных чисел; отсюда следует, что существует ненулевая точка траектория которой относительно конечна.) Эти замечания дают возможность написать сколько угодно перемешивающих преобразований на торе. Одним из них будет преобразование или, в действительной записи,

Другой пример получится, если за X принять (мультипликативно записанную) группу характеров аддитивной группы рациональных чисел (или, в качестве слегка видоизмененного примера, двоичных рациональных дробей); для этой группы операция возведения в квадрат является перемешивающим автоморфизмом.

Различные получающиеся таким образом примеры не могут решить вопроса о соотношении между эквивалентностью и сопряженностью для случая непрерывного спектра. Все они (т.е. эти примеры) эквивалентны между собой (если на группы наложены соответствующие условия счетности), но едва ли сопряжены друг другу. Однако, поскольку их принадлежность к различным классам сопряженности не доказана, вопрос остается открытым.

Следует отмстить, что, хотя применительно к автоморфизмам групп в нашем распоряжении и нет такого инструмента, как теорема о представлении для преобразований с дискретным спектром, некоторые следствия этой теоремы справедливы для одного интересного класса таких автоморфизмов, а именно для сдвигов.

Рассмотрим пространство двусторонних последовательностей, состоящих из элементов некоторого пространства X с нормированной мерой, и пусть двусторонний сдвиг в этом пространстве. Если преобразования определить формулами соответственно, то так что всякий сдвиг есть произведение двух инволюций (и, следовательно, каждый сдвиг подобен своему обратному).

Обозначим через сдвиг в пространстве двусторонних последовательностей элементов из Ясно, что если пространства метрически изоморфны, т.е. если существует обратимое сохраняющее меру преобразование, отображающее X на то и — подобные преобразования. Заметим далее, что естественным образом можно установить подобие между декартовым произведением двух сдвигов и сдвигом в пространстве последовательностей, составленных из элементов декартова произведения соответствующих пространств, т.е. что подобно Заметим, наконец, что квадрат сдвига подобен его декартову квадрату, т.е. что подобно Из этих замечаний следует, что если, например, X состоит из 9 точек, каждая из которых имеет меру то существует квадратный корень из и он подобен сдвигу в пространстве последовательностей, построенных из элементов -точечного пространства, каждая точка которого имеет меру Отсюда вытекает также, поскольку единичный интервал метрически изоморфен единичному квадрату, что если X — единичный интервал, то квадратный корень из существует и подобен самому