Введение

Считается, что развитие топологии началось с известной задачи о семи Кенигсбергских мостах; отправной точкой для развития эргодической теории послужили некоторые соображения, относящиеся к статистической механике. Задача о семи мостах внесла в математику теорему о четных и нечетных вершинах в графах, а задача изучения газа — теорему об асимптотическом поведении сохраняющих меру преобразований. В обоих случаях непосредственный «выход» первоначальной постановки вопроса составил лишь малую часть общей теории. Тем не менее, поскольку исторический фон представляет определенную ценность, я посвящу в этих лекциях несколько минут схематическому изложению некоторых существенных для дальнейшего понятий статистической механики.

Рассмотрим некоторую механическую систему с степенями свободы. Для большей конкретности предположим, что и что данная система состоит из к частиц, заключенных в замкнутый объем в трехмерном пространстве. Пусть массы этих частиц (скажем, молекул газа) и действующие на них силы полностью известны, тогда мгновенное состояние нашей системы можно задать, указав значения координат и компонент скорости. Эти параметров не являются единственно возможными; например, для некоторых целей совокупность координат и импульсов значительно удобнее, чем набор координат и скоростей.

С этой точки зрения состояние системы представляет собой точку в -мерном евклидовом пространстве, так называемом фазовом пространстве. С течением времени состояние системы меняется по соответствующим физическим законам (дифференциальным уравнениям); вся история эволюции системы, ее прошлое, настоящее и будущее, изображается определенной траекторией в фазовом пространстве. В соответствии с классической механикой, основанной на причинности, вся эта траектория может быть в принципе определена, если задана какая-нибудь одна ее точка (мгновенное состояние). Практически, однако, мы почти никогда не имеем информации, достаточной для такой полной определенности. Основная идея статистической механики, впервые высказанная Гиббсом, состоит в том, чтобы, пренебрегая рассмотрением

отдельного состояния (т. е. отдельной точки в фазовом пространстве), отдать предпочтение статистическому изучению ансамблей состояний (т. е. подмножеств фазового пространства). Вместо того чтобы спрашивать, «каково будет состояние данной системы в момент времени мы спрашиваем: «какова вероятность того, что в момент состояние системы будет принадлежать определенному подмножеству фазового пространства?». Первостепенный интерес представляет следующая асимптотическая постановка вопроса: что (вероятно) будет происходить с системой при стремящемся к бесконечности?

Пусть точка фазового пространства, изображающая состояние некоторой системы в момент тогда соответствие, переводящее точку в точку является некоторым преобразованием — назовем его таким образом Так как в силу очевидных физических причин то представляет собой однопараметрическую группу преобразований. (Такая группа обычно называется потоком.) Одним из основных результатов статистической механики является теорема Лиувиллл; она гласит, что если координаты в фазовом пространстве выбраны должным образом, то поток в фазовом пространстве не меняет фазового объема (т. е. -мерного объема в этом пространстве). Другими словами, преобразования, образующие поток, сохраняют меру; основной задачей статистической механики является изучение асимптотических свойств некоторых семейств преобразований, сохраняющих меру.

Отправляясь от конкретной трехмерной физической ситуации, мы пришли в результате проведенных выше рассуждений к довольно абстрактной многомерной математической идеализации, обладающей важным свойством (а именно, свойством сохранения меры у потока). Этим свойством обладают и многие другие модели, не менее конкретные, чем та, которая первоначально привела нас к указанной выше абстрактной схеме. Можно рассмотреть, например, физическую систему, состоящую из миксера для приготовления коктейлей, в котором находятся лед и джин с несколькими каплями вермута, и предположить, что на такую систему действует поток, создаваемый энергичным движением сбивалки. Такого рода примеры, представляющие очевидный интерес, будут использоваться на первых порах для иллюстрации наших рассмотрений.

Эргодическая теория представляет собой математический результат физических рассмотрений, подобных описанным выше. Эта теория

содержит ряд интересных и нетривиальных теорем; она связана с рядом других областей математики (как, например, теория вероятностей, топологические группы, гильбертово пространство).

В то же время эта теория имеет и некоторые «патологические» аспекты, которые затемняют лежащее в основе существо дела. Чтобы сделать излагаемые теоремы и примеры более выразительными и отодвинуть на задний план «патологию» и разного рода контрпримеры, решил не гнаться за максимальной общностью. Цель этого плана состоит не в том, чтобы умолчать о трудностях, а в том, чтобы избежать неприятности, которая, во всяком случае на первых порах, не является необходимой. Я постараюсь теоремы точно формулировать и аккуратно доказывать, однако я не буду стесняться при этом налагать упрощающие ограничения, которые иногда могут показаться слишком жесткими. (Одно из преимуществ этого подхода к делу состоит в том, что он позволяет отчетливо сформулировать имеющиеся здесь нерешенные проблемы, среди которых, кстати, есть немало весьма глубоких и интересных.) Так, если окажется полезным предположить, что та или иная мера является конечной (или, возможно, сигма-конечной) или что то или иное топологическое пространство имеет счетную базу, я без колебаний буду это делать.

Первое упрощающее предположение, а именно переход от непрерывного к дискретному, можно сделать сейчас же, и оно будет сохраняться на протяжении всего этого курса. Каждый отдельный элемент потока, т.е. при каждом значении является сохраняющим меру преобразованием. Из группового свойства элементов следует, что при любом целом положительном, отрицательном или равном нулю. является тождественным преобразованием.) Поскольку пет оснований ожидать, что асимптотические свойства будут иными, чем мы будем рассматривать этот последний, дискретный, случай, а не непрерывный. Это имеет определенный физический смысл; именно это означает, что мы пытаемся изучать асимптотические свойства потока, производя наблюдения через определенные, равные между собой промежутки времени. Имеется здесь и определенный математический смысл, состоящий в том, что при этом упор делается на более простые понятия. Первыми объектами изучения являются отдельные сохраняющие меру преобразования; изучение групп таких преобразований мы несколько отложим.

Еще несколько слов на эту же тему, прежде чем я перейду к систематическому изложению теории. Слава, выпавшая на долю одной или двух предельных теорем, явилась источником распространенного мнения, будто они именно и представляют наибольший интерес в современной эргодической теории. Я не думаю, чтобы это было так. Существует много алгебраических и топологических фактов, требующих изучения; более запутанные аналитические факты можно глубоко осмыслить лишь в том случае, если рассматривать их в плане общей тополого-алгебраической структуры.

Литературные ссылки

Halmos P. R,., Measure Theory, 1950 (русский перевод: Халмош П. Р., Теория меры, ИЛ, 1953 г.).

Halmos P. R., Introduction to Hilberi .space, 1951.

Hopf E., Ergodentheorie, 1937 (русский перевод: Хопф Э., Эргодическая теория, Успехи матем. паук, 4, № 1, 1949).

Хинчин А. Я., Математические основания статистической механики, ГТТИ, 1943 г.

Понтрягин Л. С., Теория непрерывных групп, ГТТИ, 1938 г. (Второе издание, Гостехиздат, 1954.)

В моем сообщении Американскому математическому обществу (Bull. Amer. Math. Soc., 1949, стр. 1015) имеются исторические сведения о большей части тех вопросов, которые будут затронуты в моих лекциях, а также исчерпывающая библиография вплоть до 1948 г. Указания на другие вопросы, которые будут время от времени упоминаться, но которые мы не будем здесь рассматривать детально, можно найти в вышеупомянутом сообщении, а также в докладе Какутани 1950 г. (Kakutani, Cambridge Congress, т. 2, стр. 128) и в сообщении Американскому математическому обществу, сделанном Окстоби (Oxtoby, Bull. Amer. Math. Soc., 1952, стр. 116; русский перевод: Окстоби Д., Эргодические множества. Успехи матем. наук, 8, № 3, 1953). Дальнейшие ссылки будут приводиться в соответствующих местах курса.