Энтропия динамической системы

Одной из центральных проблем спектральной теории динамических систем является вопрос о том, существуют ли неизоморфные эргодические системы с одинаковым непрерывным спектром. Вопрос этот оставался открытым, несмотря на усилия ряда математиков, на протяжении более четверти века и недавно был (положительно) решен А. Н. Колмогоровым [9]. Именно, А. Н. Колмогоров построил для динамических систем новый инвариант, названный им «энтропией на единицу времени», и указал примеры эргодических систем с одним и тем же непрерывным (а именно счетнократным лебеговским) спектром, для которых этот инвариант принимает различные значения.

Схема, с помощью которой вводится этот инвариант, может быть изложена следующим образом. Для упрощения дела мы ограничимся случаем дискретного времени.

Пусть X — пространство с мерой сохраняющий меру автоморфизм этого пространства, причем Пусть попарно непересекающиеся измеримые множества, в сумме составляющие все Положим

Далее, введя для упрощения дальнейших записей обозначения

положим

Аналогично пусть

и

Пусть теперь

Наконец, пусть

где точная верхняя грань берется по всем возможным исходным разбиениям пространства Величина которая может принимать различные неотрицательные значения (включая и и называется энтропией динамической системы на единицу времени. Из определения ясно, что является инвариантом динамической системы. Действительно, если системы изоморфны между собой, то каждому конечному разбиению пространства X отвечает [при фиксированном изоморфном отображении на определенное разбиение пространства У, и обратно, причем это соответствие сохраняется и для сдвигов элементов разбиений, и их пересечений. Поскольку в определении рассматриваются все конечные измеримые разбиения системы, для изоморфных систем величина оказывается одной и той же.

Не останавливаясь на выяснении различных свойств инварианта заметим лишь, что предел существует в силу известной теоремы Мак Миллана [12]; укажем две динамические системы с одним и тем же непрерывным спектром (а именно счетпократпым лебеговским) и такие, что в каждой из них инвариант существует и конечен, но принимает различные значения. Такими системами являются уже знакомые читателю книги Халмоша сдвиги в пространстве двусторонних последовательностей, двоичных в первом случае и троичных во

втором. Итак, пусть X — пространство двусторонних двоичных последовательностей

сдвиг в нем, т. е.

мера в X определяется как бесконечное произведение мер двухточечных пространств в которых каждая точка имеет меру

Рассмотрим разбиение пространства X на два множества состоит из тех точек, для которых из остальных. Множество состоит, очевидно, из тех точек, для которых Ясно, что

и

Далее, пользуясь введенными выше обозначениями, имеем

при любых Отсюда получаем, что

Далее

И вообще для данного разбиения

Отсюда получаем, что для данного разбиения

Можно показать, что не большее значение получится для любого другого конечного разбиения С пространства Поэтому в рассматриваемой динамической системе

Если теперь рассмотреть пространство троичных двусторонних последовательностей

причем в основном трехточечном пространстве каждый элемент имеет меру то для динамической системы, определяемой в этом пространстве с помощью сдвига, мы получим, что Следовательно, сдвиги в пространствах двоичных и троичных последовательностей действительно представляют собой примеры эргодических систем, спектрально эквивалентных, но не изоморфных.