Эргодичность

Пусть сохраняющее меру преобразование пространства X, и пусть X является суммой двух непересекающихся измеримых множеств каждое из которых имеет положительную меру и инвариантно относительно тогда изучение любых свойств преобразования на X сводится к раздельному изучению соответствующих свойств на на . В этой ситуации преобразование естественно назвать разложимым. Наиболее важны неразложимые преобразования; они обычно называются метрически транзитивными, или эргодическими. Понятие эргодичности представляет собой одну из точных формулировок (не единственно возможную) того естественного требования, что данное преобразование достаточно хорошо перемешивает точки пространства, в котором оно действует.

Для того чтобы привести некоторые примеры эргодических преобразований, удобно сперва дать иную формулировку определения эргодичности. Первая из таких переформулировок очевидна: эргодично в том и только в том случае, если для него существуют только тривиальные инвариантные множества, т. е. в том и только в том случае, если для любого измеримого множества инвариантного относительно или или (Напомним определение инвариантности. Множество инвариантно относительно в том и только в том случае, когда это означает, что х принадлежит в том и только в том случае, если принадлежит Функция инвариантна относительно в том и только в том случае, когда для всех х. Ясно, что инвариантно в том и только в том случае, если инвариантна его характеристическая функция. Я буду обычно употреблять слово «инвариантно» в смысле «инвариантно почти всюду», так что, например, для функций инвариантность означает, что для почти всех Полезен следующий вариант определения эргодичности; эргодично в том и только в том случае, если всякая инвариантная относительно измеримая функция есть константа. В одну сторону доказательство тривиально: если не существует инвариантной

функции, отличной от константы, то ист нетривиальных инвариантных множеств. (Рассмотреть характеристические функции.) Обратно, предположим, что эргодично; надлежит доказать, что если измерима и инвариантна, то она постоянна. Пусть множество тех х, для которых тогда из инвариантности следует инвариантность Но из эргодичности следует, что при всех каждое из множеств за исключением одного, имеет меру нуль. Мы получаем требуемый результат, рассмотрев пересечение (по всем этих «больших» множеств Если то верно также следующее: эргодично в том и только в том случае, если каждая инвариантная функция, принадлежащая принадлежащая постоянна; здесь суть дела в том, что характеристическая функция всякого измеримого множества интегрируема.

Сдвиг определяемый формулой в пространстве целых чисел, эргодичен; сдвиг таковым не является. (Множество всех четных чисел инвариантно.) Сдвиг определяемый формулой на действительной оси, неэргодичен; примером нетривиального инвариантного множества являстся сумма (по веем интервалов вида

Пусть X — группа вращений окружности (т.е. множество всех комплексных чисел, по модулю равных 1), с определено формулой тогда эргодично при одних с и неэргодично при других. Если с — корень из единицы, т.е. при некотором целом положительном то неэргодично; в самом деле, в этом случае является отличной от постоянной измеримой инвариантной функцией. Если с не есть корень из единицы, то эргодично. Один из способов доказать это состоит в том, что рассматриваются функции образующие в (на X) полную ортогональную нормированную систему. Если то причем ряд сходится в среднем квадратичном. Определим в как это делалось выше, оператор равенством так как то Если инвариантна, то спап для всех следовательно, ссли только Отсюда следует, что всякая инвариантная функция из постоянна и, значит, эргодично.

В более общем случае, когда X — компактная абелева группа со счетной базой, а где с — некоторый

фиксированный элемент из X, необходимое и достаточное условие эргодичности состоит в том, что последовательность степеней элемента всюду плотна в Доказательство этого факта представляет собой интересное отступление от основного русла общей теории; оно проводится следующим образом.

Лемма. Если пространство с мерой X является топологическим пространством со счетной базой, причем каждое его непустое открытое подмножество имеет положительную меру, и если эргодическое сохраняющее меру преобразование пространства X, то для почти всех траектория точки х (т. е. последовательность всюду плотна.

Доказательство.

Траектория точки х неплотна в том и только в том случае, если существует такое непустое открытое множество являющееся элементом базы, что х содержится в пересечении всех Так как это пересечение представляет собой инвариантное множество, не имеющее общих точек с и так как то его мера равна нулю. Если х не принадлежит ни одному из этих множеств меры нуль, число которых счетно (они отвечают открытым множествам, образующим базу), то х имеет всюду плотную траекторию.

Это условие плотности, которое, как утверждает доказанная лемма, необходимо для эргодичности, не является достаточным. Чтобы получить противоречащий пример, рассмотрим в качестве такое преобразование, скажем, на интервале [0, 2), которое оставляет [0, 1) и [1, 2) инвариантными и которое на каждом из этих двух частичных интервалов эргодично. Требуемый контрпример можно получить, введя на [0, 2) топологию (отличную, конечно, от обычной) так, чтобы каждый из подынтервалов [0, 1) и [1, 2) был всюду плотен в [0, 2), и так, чтобы получающееся при этом пространство с мерой удовлетворяло условиям леммы. Для этой цели рассмотрим на плоскости квадрат и выберем в нем два непересекающихся счетных класса полуоткрытых интервалов, плотных в нем. Можно очевидным образом установить взаимно-однозначное соответствие между объединениями каждого из этих двух классов и интервалами [0, 1) и [1, 2) соответственно; интервал [0, 2) будем рассматривать в той топологии, которая переносится на него с квадрата с помощью вышеупомянутых двух соответствий.

Другая возможность — это определить меру на квадрате с помощью этих соответствий, приписав множеству всех «лишних» (т.е. не принадлежащих указанным выше интервалам) точек меру нуль и определив преобразование квадрата как единичное в «лишних» точках и как соответствующий образ преобразования в остальных.

Предположим теперь, что представляет собой сдвиг (т. е. на некоторой компактной коммутативной группе X со счетной базой). Если преобразование эргодично, то, согласно лемме, существует по крайней мере одна точка (обозначим ее траектория которой всюду плотна. Так как преобразование, переводящее представляет собой гомеоморфизм, то оно переводит траекторию точки т.е. последовательность в некоторую всюду плотную последовательность; однако образ этой траектории состоит как раз из степеней элемента с.

Обратно, предположим, что всюду плотна. Если характер группы X (т. е. непрерывный ее гомеоморфизм в группу вращений окружности), то так что является собственным вектором унитарного оператора, порожденного преобразованием Так как характеры образуют полную ортогональную нормированную систему функций в то каждая инвариантная функция из может быть разложена по ним. Поскольку собственные векторы унитарного оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны между собой, каждая инвариантная функция в (т.е. каждый собственный вектор, отвечающий собственному значению 1) представляет собой линейную комбинацию тех характеров, для которых собственное значение равно 1. Таким образом, для того чтобы завершить доказательство, достаточно показать, что единственным таким характером является единичный характер. Пусть некоторый характер и почти всюду; тогда, по непрерывности, всюду и, следовательно, всюду. Положив получаем отсюда, что единичный характер.

Как только что описанная топологическая техника, так и метод разложения Фурье, примененный нами для группы вращений окружности, могут быть использованы для доказательства того, что вращение на торе (Т(х, у) эргодично в том и только в том случае, если коэффициенты и с; целочисленно независимы. Это означает, что из (при целых следует

Может ли линейное преобразование с детерминантом 1

конечномерного евклидова пространства быть эргодично? Ответ здесь оказывается отрицательным. Один из способов убедиться в этом состоит в использовании известной теории собственных значений линейных преобразований в комплексных векторных пространствах. Для этого рассматриваемое пространство X должно быть заменено его комплексной оболочкой. Иначе говоря, рассмотрев декартово произведение введем в нем покоординатное сложение векторов, а умножение вектора на комплексное число определим формулой . В результате мы получим комплексное векторное пространство X комплексной размерности действительная размерность X). Действительная размерность пространства X равна, разумеется, -мерное действительное векторное пространство X содержит X в качестве -мерного подпространства. Если определить в X формулой то будет комплексным линейным преобразованием с детерминантом 1. Пусть различные собственные значения преобразования их кратности, отвечающие им ненулевые собственные векторы преобразования Заметим, что, согласно определению векторы являются комплексными линейными функционалами на Так как то функционалы определены на пусть тогда функция инвариантна относительно (Напомним, что произведение собственных значений, каждое из которых взято столько раз, какова его кратность, равно детерминанту.) Эта функция не является константой. Действительно, обращается в нуль на соединении подпространств нулей функционалов и отлична от нуля на всех остальных элементах. Так как действительная и мнимая части каждого из функционалов представляют собой действительные линейные функционалы на X, то соединение всех этих подпространств нулей представляет собой теоретико-множественную сумму конечного числа подпространств, размерность каждого из которых меньше Поскольку непрерывна, отсюда вытекает, что она не может быть константой почти всюду. (Примененный здесь трюк с переходом к комплексному пространству можно осуществить также, пользуясь вместо линейных преобразований матрицами; при этом пришлось бы пользоваться меньшим количеством понятий, но зато нужно было бы возиться с большим числом индексов.)

Интересно было бы выяснить, сколь далеко изложенные факты могут быть обобщены. Может ли автоморфизм некоторой локально компактной, по не компактной группы быть эргодическим, сохраняющим меру, преобразованием? По этому поводу неизвестно ничего; лишь для компактного случая уже кое-что сделано. Я рассмотрю автоморфизмы компактных групп немного позже.

В качестве следующего примера я возьму сдвиг односторонний или двусторонний, в соответствующем пространстве последовательностей; я утверждаю, что в каждом из этих двух случаев эргодичен. Действительно, предположим, что инвариантное измеримое множество. Поскольку мера определяется ее значениями на множествах, зависящих лишь от конечного числа координат, существует такое «конечномерное» множество (обозначим его А), которое достаточно хорошо аппроксимирует множество Это означает, что мера симметрической разности (или булевской суммы) мала и, в частности, мало отличается от Так как А определяется конечным числом координат, то, если достаточно велико, множество определяется набором координат, не пересекающимся с тем набором, который определяет А, и, следовательно, Так как преобразование и все его степени сохраняют меру и так как инвариантно, то из малости вытекает малость Отсюда следует, что также мала, а потому близки к иначе говоря, величина мало отличается от своего квадрата. Поскольку точность аппроксимации может быть взята как угодно большой, получаем что и требовалось. Отсюда следует, что как и преобразование удвоения так и преобразование пекаря эргодичны.

Все примеры эргодических преобразований, которые мы рассматривали, за исключением сдвига на единицу в пространстве целых чисел, действовали в пространствах с конечной мерой. Построение примера эргодического преобразования в неатомическом пространстве бесконечной меры является нетривиальной задачей. (Неатомичность означает, что каждое измеримое множество положительной меры содержит некоторое измеримое подмножество меньшей положительной меры.) Я покажу, как построить такое преобразование на действительной оси. На самом деле наиболее удобным представлением

пространства, в котором действует такое преобразование, является не действительная ось, а некоторый набор сегментов на плоскости; будет, однако, ясно, что если эти сегменты приложить друг к другу, то они составят действительную прямую. Рассматриваемый метод может быть широко использован для построения примеров.

Пусть невозрастающая последовательность положительных чисел, причем и пусть обратимое, сохраняющее меру, эргодическое преобразование единичного полуинтервала. Пусть полуинтервал длины лежащий в плоскости параллельно горизонтальной оси, и пусть X — объединение всех (Если ряд расходится, то X очевидным образом эквивалентно, с точки зрения теории меры, полупрямой, а следовательно, и прямой.) Преобразование на X сдвигает каждую точку на единицу вверх, если это возможно (т.е. если же это невозможно (т.е. если то Ясно, что обратимое, сохраняющее меру, преобразование на Предполагается, что Пусть теперь некоторое измеримое множество, инвариантное относительно Пусть пересечение с базисным интервалом (т. е. с единичным интервалом на горизонтальной оси), тогда состоит в точности из тех точек, чьи первые координаты принадлежат Так как инвариантно относительно то или или его дополнение в базисном интервале имеют меру нуль: отсюда вытекает эргодичность что и требовалось доказать.