Нерешенные проблемы

1. Поскольку физики заинтересованы в замене фазовых средних временными и поскольку эргодическая теорема, по-видимому, разрешает это делать, первоначально результат Биркгофа был объявлен панацеей от всех болезней статистической механики. Вскоре, однако, обнаружилось, что одна проблема просто заменилась другой: вместо того чтобы решать, можно ли фазовые средние заменить временными, физик должен теперь решать, будет ли заданное преобразование эргодическим. Уже по одной этой причине было бы интересно получить какие-либо подходящие теоремы, которые гарантировали бы, при определенных условиях, эргодичность того или иного сохраняющего меру преобразования; никаких общих результатов такого рода не известно.

2. Теорема о возвращении и эргодическая теорема указывают на то, что если сохраняющее меру преобразование и интегрируемая функция, то почти все последовательности «рекуррентны» в некотором смысле, который мы не уточняем. Можно ли ввести понятие рекуррентности для последовательностей действительных чисел так, чтобы для последовательности рекуррентной в этом смысле, средние стремились бы к некоторому конечному пределу и так, чтобы для сохраняющего меру и интегрируемой последовательность была рекуррентна почти всюду?

3. Нерешенной алгебраической проблемой эргодичеекой теории является проблема сопряженности; когда два преобразования сопряжены между собой? Такая постановка вопроса, конечно, слишком неопределенна, однако имеется несколько относящихся сюда интересных и вполне конкретных вопросов, на которые можно ответить «да» или «пет» и которые следовало бы решить. (Общая проблема, быть может, и не будет решена; не вполне ясно даже, что она собой представляет.) Вот некоторые примеры, Существуют ли пространства, не изоморфные

в смысле теории меры и такие, что построенные с их помощью сдвиги сопряжены между собой? (б) Существуют ли эквивалентные, но не сопряженные между собой эргодические преобразования с непрерывным спектром? (в) Существуют ли сопряженные между собой эргодические автоморфизмы некоторой компактной группы, не принадлежащие в группе автоморфизмов рассматриваемой группы одному и тому же классу сопряженных элементов?

4. Проблема квадратного корня остается по существу открытой, как, само собой разумеется, и более общая проблема корпя степени и проблема включения автоморфизма в поток. Когда существует квадратный корень из сохраняющего меру преобразования? Более частный вопрос: из всякого ли преобразования с непрерывным спектром можно извлечь квадратный корень? Можно ли извлечь квадратный корень из любого сдвига?

5. Какие унитарные операторы порождаются сохраняющими меру преобразованиями? Предположим, чтобы рассмотреть конкретный частный случай, что векторы образуют полную ортогональную нормированную систему в гильбертовом пространстве, и что унитарный оператор, определенный условиями Существует ли сохраняющее меру преобразование пространства с конечной мерой, порождающее унитарный оператор, эквивалентный

6. Теорема Лиувилля утверждает существование инвариантной меры; ее следовало бы включить в соответствующую общую концепцию. Сам по себе рассматриваемый вопрос есть, конечно, вопрос об инвариантной мере; его видимая неприступность крайне досадна. Простейший вопрос, допускающий ответ «да» или «нет», был сформулирован выше следующим образом: если измеримое, обратимое и несингулярное преобразование некоторого пространства с заданной в нем мерой то, то существует ли сигма-конечная мера, эквивалентная то и инвариантная относительно Этот же вопрос можно поставить в теоретико-групповой форме: отдельное преобразование можно рассматривать как образующий элемент циклической группы. Что можно сказать в случае абелевых групп более общего вида? Что относительно групп, не обязательно коммутативных?

За исключением нескольких тривиальных замечаний, которые можно сделать по поводу компактных абелевых групп, известно лишь (von Neumann, Annals of Math., 1940, стр. 94), что ответ на вопрос о существовании эквивалентной инвариантной меры (для произвольных групп) может быть иногда отрицателен. Когда он положителен?

7. Функциональные уравнения типа встречаются в теории инвариантной меры; они же, в совсем иной ситуации, встречаются при рассмотрении обобщенных собственных значений. (Функция задана, функция неизвестна.) Систематический подход к их изучению крайне необходим. Вот простейший вопрос, на который можно ответить «да» или «нет»: существует такое сохраняющее меру преобразование неатомического пространства с конечной мерой, для которого это функциональное уравнение имеет измеримое решение (по абсолютной величине тождественно равное 1) для каждой измеримой функции (по абсолютной величине тождественно равной

8. В надежде решить проблему сопряженности время от времени предлагались или иные инварианты преобразований. Одним из очевидных инвариантов такого рода является класс инвариантных подалгебр алгебры с мерой. Если В — алгебра с мерой, отвечающая данному пространству с мерой X, и если автоморфизм алгебры В, порожденный сохраняющим меру преобразованием пространства X, то подалгебра называется инвариантной относительно если как только (Здесь «подалгебра» понимается как «сигма-подалгебра».) Какие имеются возможности для нетривиальных инвариантных подалгебр? Точнее: пусть X — пространство двусторонних последовательностей элементов и автоморфизм, порожденный двусторонним сдвигом. Пусть, далее, совокупность всех «симметричных» измеримых множеств (или, вернее, совокупность всех классов эквивалентности таких множеств по модулю множеств меры нуль); при этом множество называется симметричным, если как только Подалгебра инвариантна относительно существуют ли здесь какие-либо другие инвариантные подалгебры?

9. Любопытный инвариант получается из рассмотрения автоморфизмов компактных абелевых групп. Пусть X — тор и его автоморфизм, определяемый упимодулярпой матрицей Обозначим через к след матрицы т. е. и предположим,

для простоты, что детерминант равен Из того, что (а также и транспонированная матрица удовлетворяет уравнению Гамильтона-Кэли , следует, что если характер группы X, то . (Здесь U, конечно, означает унитарный оператор, порожденный Существование или несуществование характеров удовлетворяющих подобным тождествам, есть инвариант преобразования Вот, например, постановка задачи: если другая унимодулярная матрица, определяющая другой автоморфизм причем имеют разные характеристические уравнения, и если V — унитарный оператор, порожденный то существует ли отличная от константы функция равная по абсолютной величине 1 и такая, что

10. В. А. Рохлин (Известия АН СССР, 1949, стр. 329) предложил, в качестве инварианта, понятие -кратного перемешивания. Пусть целое положительное число, рассмотрим упорядоченные системы К, состоящие из неотрицательных целых чисел: (Среди этих могут быть и совпадающие.) Определим протяженность К (символ как минимум из всех разностей где конечно, Бесконечная последовательность таких -систем, называется допустимой, если стремится к бесконечности вместе с Преобразование называется -кратно перемешивающим, если для каждой упорядоченной -системы измеримых множеств и для каждой допустимой последовательности верно, что стремится, при Пока еще не установлено, что этот инвариант дает возможность различить какие-либо два преобразования: Рохлин установил, что любой эргодический автоморфизм компактной абелевой группы является -кратно перемешивающим при всех Вопрос: существует ли перемешивающее (т. е. однократно перемешивающее) преобразование, которое не было бы двукратно перемешивающим?