Слабая топология

В каком смысле можно говорить о сходимости последовательности сохраняющих меру преобразований к какому-либо сохраняющему меру преобразованию? Другими словами, какие представляющие интерес топологии можно ввести в множество всех сохраняющих меру преобразований некоторого пространства с мерой? Их существует несколько, различной ценности; я перехожу к рассмотрению одной из самых плодотворных.

Необходимо сделать некоторые предварительные замечания. Во-первых, ограничим дальнейшее рассмотрение обратимыми сохраняющими меру преобразованиями; таким образом, множество, подлежащее топологизации, представляет собой группу. Во-вторых, будем, как обычно, отождествлять два сохраняющих меру преобразования, ссли они отличаются лишь на некотором множестве меры нуль; поэтому разумно сосредоточить внимание не на группе обратимых, сохраняющих меру преобразований пространства с мерой, а на группе автоморфизмов алгебры с мерой В, связанной с Наконец (это наименее важно), мы будем предполагать, что основное пространство с мерой X есть единичный интервал. Это предположение вовсе не столь ограничительно, как это кажется. Алгебра с мерой, отвечающая интервалу, нормирована, неатомична и сепарабельна. Известно, что любые две алгебры с мерой, удовлетворяющие этим трем условиям, изоморфны между собой. Тот факт, что X есть единичный интервал, будет использован двояко. Основную роль будет играть то, что отсюда вытекают пормироваппость, неатомичность и сепарабельность В; все рассуждения, основанные на этих свойствах, применимы к большинству других пространств с мерой, упоминавшихся мной (например, ко всем недискретным компактным группам со счетной базой, в частности к тору и к пространству последовательностей). Вспомогательную роль будут играть некоторые свойства упорядоченности, присущие интервалу (например, будет использовано понятие подынтервала). Эти рассуждения, разумеется, не переносятся на более общий случай слово в слово, однако все, что нужно сделать для их обобщения, это заменить подынтервалы такими

элементами соответствующей булевской алгебры, которые отвечают подынтервалам при некотором изоморфизме.

Последнее из предварительных замечаний относится к связи между той топологией, которую мы будем изучать, и различными известными топологизациями множества операторов гильбертова пространства. Сильная топология для операторов опрсдслястся так: сходится к А в том и только в том случае, если при всяком слабая топология требует, чтобы при любых (Множество индексов здесь — любое направленное множество.) Поскольку автоморфизмы алгебры В можно рассматривать как (порожденные ими) операторы в группа автоморфизмов наследует всякую топологию, которой обладает группа унитарных операторов. Сильная и слабая топологии, рассматриваемые лишь для унитарных операторов, оказываются совпадающими. (Доказательство. Из сильной сходимости всегда следует слабая сходимость. Пусть унитарные операторы, слабо сходящиеся к унитарному оператору вычислим квадрат нормы и заметим, что каждый из получающихся здесь четырех членов стрсмится, с точностью до знака, к Отсюда следует, что для группы автоморфизмов эти две топологизации также дают один и тот же результат. Топология, которую я собираюсь описать (будем называть ее слабой топологией), совпадает с ними обеими.

Слабая топология для группы автоморфизмов состоит в том, что сходится к тогда и только тогда, когда сходится к для каждого измеримого множества (или, лучше сказать, для каждого элемента алгебры с мерой В); говоря подробнее, требуется, чтобы (Символ означает, как и выше, симметричную разность, т. е. булевское сложение.) Еще подробнее: полную систему окрестностей образуют множества вида

Первый из результатов, относящихся к слабой топологии, состоит в том, что в этой топологии группа оказывается топологической группой, удовлетворяющей первой аксиоме счетности. Чтобы доказать, что являстся -прострапством, предположим, что (символ I означает единичный автоморфизм), и пусть такое множество (т.е. элемент из В), что Если то

окрестность не содержит Непрерывность операции перехода к обратному элементу вытекает из того, что в том и только в том случас, ссли Для доказательства непрерывности произведения предположим, что и сходятся к соответственно. Поскольку близко, при больших к близко к и поскольку из сохранения меры преобразованием следует, что настолько же близко к насколько близко к мы заключаем, что близко к когда достаточно велико. Эти замечания показывают, что является топологической группой. Поэтому для проверки первой аксиомы счетности достаточно доказать существование счетной определяющей системы окрестностей у единичного элемента Выберем для этого в В счетное всюду плотное множество окрестности образуют определяющую систему окрестностей элемента Действительно, пусть — произвольная окрестность элемента Если выбраны так, что и меньше, чем то .

С (как и со всякой топологической группой) можно естественным образом связать некоторое понятие равномерности. Будем называть левой равномерностью , по отношению к которой последовательность фундаментальна в том и только в том случае, если близко к I для любых достаточно больших правая равномерность определяется аналогично с помощью Группа не полна в каждой из этих равномерностей. Соответствующие примеры проще всего построить в пространстве односторонних последовательностей. Пусть преобразование, порождаемое циклической перестановкой первых индексов, т.е. если то при при Ясно, что каждое представляет собой обратимое сохраняющее меру преобразование. Я утверждаю, что сходится, для любого к при Для конечномерных множеств это просто на самом деле просто равно для них при всех достаточно больших для произвольных измеримых множеств это получается с помощью аппроксимации. Отсюда следует, что левая фундаментальная последовательность; однако, очевидно, что рассматриваемая последовательность не имеет предела в Рассмотрев последовательность убедимся, что не полна и справа.

Правильным является двустороннее определение равномерности в т. е. такое, по отношению к которому последовательность

является фундаментальной в том и только в том случае, если и близки к 7, как только и то достаточно велики. По отношению к этой равномерности полна. Ввиду наличия первой аксиомы счетности достаточно доказать полноту по отношению к последовательностям. Если двусторонне фундаментальная последовательность в то как так и фундаментальные последовательности в отсюда следует, что сходятся, скажем, к и соответственно для любого из В. (Полнота В — это перефразировка теоремы Фишера-Рисса.) Поскольку дополнение, сумма и мера — непрерывные функции на В, отображения определенные на В, сохраняют меру и все конечные булевские операции; отсюда следует, что они сохраняют и счетные операции. (Вообще говоря, булевский гомоморфизм не обязан быть сигма-гомоморфизмом; здесь это получается благодаря сохранению меры.) Отображения представляют собой, таким образом, эндоморфизмы алгебры В. Поскольку, как легко проверить, для всех они являются автоморфизмами и

Понятие полноты привычнее в случае метрических пространств, чем в случае более общих равномерных пространств (например, топологических групп). Как известно, равномерное пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счетности, метризуемо, поэтому все свойства группы можно, в принципе, излагать в терминах соответствующей метрики. Легко описать эту метрику. Пусть счетное, всюду плотное в В множество; примем за расстояние между величину утверждается, что эта метрика порождает в слабую топологию и двустороннюю равномерную структуру. (Она является право-, или левоинвариантной.) Однако, поскольку эта довольно искусственная конструкция не проливает, по-видимому, никакого дополнительного света на структуру группы я не вижу оснований вдаваться в дальнейшее ее изучение. Дело обстояло бы совссм иначе, ссли можно было бы найти в инвариантную метрику (т. е. метрику в инвариантную относительно умножения справа и слева). Общая теория топологических групп гарантирует существование односторонне-инвариантной метрики; однако двусторонней не существует. Несколько более расширенную трактовку ряда относящихся сюда вопросов, а также литературные ссылки можно найти в первой моей работе, посвященной этой тематике (Trans. Ашег. Math. Soc., 1944, стр. 11).