Геодезические потоки на многообразиях отрицательной кривизны

Хорошо известны примеры динамических систем с непрерывным спектром, строящиеся с помощью автоморфизмов компактных абелевых групп (см. соотв. раздел книги Халмоша). Другой класс систем с непрерывным спектром образуют нормальные системы, о которых было

сказано выше. Однако оба эти класса систем довольно далеки от реальных механических систем, эволюция которых определяется дифференциальными уравнениями. Интересный класс систем, тесно связанных с задачами механики и имеющих непрерывный спектр, образуют так называемые геодезические потоки. Пусть некоторое -мерпое риманово многообразие, и пусть X есть -мерное многообразие линейных элементов многообразия пар где а единичный вектор, касательный к в точке а. Каждый элемент определяет единственную геодезическую, проходящую через точку а в направлении Преобразование в X определяется как движение каждого элемента вдоль определяемой им геодезической со скоростью 1. Предполагал, что все геодезические на неограниченно продолжаемы, мы получаем таким образом на X динамическую систему. Инвариантная мера на X определяется формулой где - элемент -мерного объема в , a - элемент -мерного объема на сфере единичных касательных элементов в точке а Так определенная динамическая система называется геодезическим потоком на многообразии Естественно рассматривать геодезические потоки на поверхности отрицательной кривизны, так как именно этот случай приводит к эргодическим системам.

В исследовании спектральных свойств геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны был получен ряд существенных, хотя еще и не вполне окончательных результатов. В работах Э. Хопфа и Г. А. Хедлунда(см. [5], [10]) было доказано (сперва при а затем и для любого к), что геодезический поток на -мерном многообразии постоянной отрицательной кривизны обладает сильным перемешиванием (и, следовательно, имеет непрерывный спектр). Эргодичность потока была установлена также и для поверхностей переменной (но органической сверху и снизу) отрицательной кривизны. Полное вычисление спектральных инвариантов системы удалось провести лишь для геодезических потоков на поверхностях постоянной отрицательной кривизны [6], [7], именно оказалось, что геодезический поток на любой замкнутой поверхности постоянной отрицательной кривизны имеет счетнократный лебеговский спектр.

Этот последний результат был получен методами теории представлений групп с помощью следующей конструкции. Пусть группа действительных матриц 2-го порядка с детерминантом некоторая ее дискретная подгруппа (например, подгруппа целочисленных

матриц), и пусть X — пространство классов смежности В пространстве X определим движение, положив

где

В X можно ввести меру, которая будет инвариантна относительно преобразований Построенная таким образом динамическая система оказывается изоморфной геодезическому потоку на некоторой поверхности постоянной отрицательной кривизны. Обратно, выбирая соответствующим образом дискретную подгруппу можно построить этим способом геодезический поток на любой такой поверхности. Для исследования спектральных свойств системы используется следующий прием. В пространстве X можно рассматривать сдвиги не только для элементов вида но и для произвольных элементов из Таким образом, в пространстве суммируемых в квадрате функций на X определяется унитарное представление группы (Оператор отвечающий элементу определяется формулой Это представление может быть разложено на неприводимые представления. В каждом подпространстве, отвечающем неприводимому унитарному представлению группы можно определить спектр группы операторов порождаемых сдвигами Для этого используются явные формулы неприводимых унитарных представлений группы унимодулярных матриц второго порядка, найденные Гельфандом и Наймарком. После этого уже спектр операторов во всем пространстве т.е. спектр рассматриваемой динамической системы, находится без труда.

Описанная теоретико-групповая конструкция может быть обобщена следующим образом. Пусть некоторая группа Ли, ее дискретная, компактная подгруппы и X — пространство двусторонних классов смежности группы по Пусть, кроме того, обычная мера в пространстве классов смежности и однопараметрическал подгруппа группы такал, что Легко проверить, что формула

определяет однопараметрическую группу преобразований пространства X, оставляющих меру инвариантной. Таким образом, в пространстве X классов смежности определяется динамическая система. Изучение ее спектра сводится к исследованию неприводимых унитарных представлений группы Таким методом можно, например, исследовать спектральные свойства геодезических потоков на многообразиях постоянной отрицательной кривизны размерности