Замечания по поводу эргодической теоремы

Аналитические трюки закопчены; теперь пора собрать урожай вытекающих из них следствий. Первое из этих следствий состоит в том, что на пространстве с конечной мерой имеет место также и сходимость в среднем степенью единица), наряду со сходимостью почти всюду. Другими словами, если сохраняющее меру преобразование пространства если стремится к нулю (здесь, разумеется, Если ограничена, то все ее средние ограничены той же константой и наше утверждение вытекает из теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла. Если же неограничена, то наше утверждение доказывается с помощью аппроксимации. Если некоторая ограниченная функция, то

Первое из стоящих справа слагаемых не превосходит а третье равно Следовательно, выбирая так, чтобы была мала, и, выбирая затем так, чтобы было мало среднее слагаемое, мы покажем, что стоящее слева выражение мало, что и требовалось доказать.

Одной из популярных тем в аналитической эргодической теории является исследование взаимных связей различных результатов, пример чего я только что изложил. (Вытекает ли теорема о сходимости в смысле из теоремы о сходимости почти всюду? Следует ли теорема о сходимости почти всюду из теоремы о сходимости в смысле

и Аналогичная техника используется и для обобщений эргодических теорем на преобразования, не являющиеся обязательно сохраняющими меру. Впрочем, поскольку от этих уточнений пока еще только ожидают каких-либо полезных приложений, я не буду на них останавливаться.

Заслуживают внимания соответствующие обобщения на случай непрерывного параметра; здесь возникает одно новое обстоятельство, которое следует иметь в виду. Ясно, что следует рассматривать однопараметрическую полугруппу сохраняющих меру преобразований, где принимает неотрицательные действительные значения и Суммы по степеням преобразования, появляющиеся в эргодических теоремах дискретного типа, в непрерывном случае заменяются интегралами. Соответствующая эргодическая теорема устанавливает сходимость (при интегралов вида где произвольный элемент из Для того чтобы придать определенный смысл возникающим здесь интегралам, следует сделать некоторые предположения относительно характера зависимости от Естественно предположить, что представляет собой измеримую функцию своих двух аргументов , где измеримость на положительной вещественной оси понимается в смысле Бореля. При этих предположениях эргодическая теорема для непрерывного параметра имеет смысл и верна. Соответствующее доказательство представляет собой почти дословное повторение доказательства, проведенного для дискретного случая; кроме того, непрерывный случай может быть сведен к дискретному. В этом втором методе основной трюк состоит в применении дискретной эргодической теоремы к преобразованию и функции определяемой формулой

Равенство было доказано только для пространств с конечной мерой. Это условие конечности здесь не может быть отброшено; для пространств бесконечной меры заключение неверно. Если, например, X действительная прямая и сдвиг,

определяемый формулой характеристическая функция полуоткрытого единичного интервала, то в то время как для всех х.

Другой естественно возникающий вопрос связан с обращением эргодичеекой теоремы, а именно: пусть сохраняющее меру преобразование и измеримая функция, такая, что сходится почти всюду к конечному пределу следует ли отсюда, что интегрируема? Ответ здесь, вообще говоря, отрицательный; несколько позже я приведу пример, относящийся к интересному частному случаю, в котором ответ положителен. В качестве отрицательного примера рассмотрим снова сдвиг на единицу на действительной оси; если произвольная функция, равная нулю вне единичного интервала (в частности, может быть неотрицательна и неинтегрируема), то тождественно равна нулю. Самым крайним контрпримером является тождественное преобразование, для пего индивидуальная эргодическая теорема всегда справедлива.

Я не могу удержаться от соблазна завершить эти замечания еще одним «доказательством» эргодичеекой теоремы. Пусть комплекс-нозначная функция неотрицательного целочисленного аргумента; положим если только этот предел существует, и назовем такие функции интегрируемыми. Если сохраняющее меру преобразование пространства интегрируемая функция на X, то

Следовательно, по «теореме Фубини» интегрируемая функция своих двух аргументов и, значит, при почти каждом фиксированном х она является интегрируемой функцией от Нельзя ли всем этим несуразностям придать определенный смысл?