Примеры

Основным понятием будет для нас пространство с мерой, т.е. множество X вместе с некоторой фиксированной сигма-алгеброй его подмножеств и мерой, определенной на этой алгебре. Напомню, что под сигма-алгеброй понимается система множеств, замкнутая относительно взятия дополнения и соединения конечного или счетного числа множеств, а под мерой неотрицательная (возможно, принимающая бесконечные значения) сигма-аддитивная функция множеств. Множества, принадлежащие области определения меры, называются измеримыми подмножествами пространства Все те пространства с мерой, которые мы будем рассматривать, предполагаются сигма-конечными; иначе говоря, мы будем предполагать, что X есть сумма счетного числа подмножеств конечной меры. Смысл этого допущения состоит в том, чтобы исключить некоторые возможные аномалии, которые иначе могли бы возникнуть в связи с теоремой Фубипи и теоремой Радопа-Никодима; в предположении сигма-конечности применение этих теорем не вызывает затруднений.

Укажем некоторые типичные примеры тех пространств с мерой, которые будут рассматриваться ниже: конечномерное евклидово пространство с измеримостью в смысле Борелл и лебеговской мерой. Единичный интервал с теми же определениями измеримости и меры. Множество всевозможных последовательностей нулей и единиц, где пробегает все целые значения; измеримыми множествами являются элементы сигма-алгебры, порожденной множествами вида а мера определяется из условия, что ее значение для пересечения к производящих множеств указанного вида всегда равно 1/24 Локально-компактная топологическая группа со счетной базой, с измеримостью в смысле Бореля и мерой Хаара.

Измеримым преобразованием называется такое отображение пространства с мерой в пространство с мерой, при котором прообразы измеримых множеств измеримы. Измеримое преобразование действующее из называется обратимым, если существует такое измеримое преобразование , действующее из что и и

являются тождественными отображениями (с соответствующими областями определения). Преобразование определяется по однозначно, оно называется обратным к и обозначается

Большинство тех измеримых преобразований, которые мы будем рассматривать, являются сохраняющими меру, т.е. обладают тем свойством, что прообраз каждого измеримого множества имеет ту же меру, что и само это множество. Честно говоря, интерес представляют не сами сохраняющие меру преобразования, а классы эквивалентных между собой преобразований; при этом два преобразования считаются эквивалентными, если они отличаются друг от друга лишь па некотором множестве меры нуль. Обычный пароль, разрешающий переход к рассмотрению классов эквивалентности, — это термин «идентификация». Я предлагаю идентифицировать два сохраняющих меру преобразования в том и только том случае, если они совпадают почти всюду. Заметим, что если некоторое сохраняющее меру преобразование обратимо, то обратное к нему преобразование тоже сохраняет меру. Большинство тех преобразований, которые рассматриваются в эргодической теории, представляют собой обратимые сохраняющие меру преобразования, отображающие пространство с мерой на себя.

Типичным примером измеримого, но не сохраняющего меру преобразования на прямой является преобразование легко проверить, что для всякого борелевского множества (где само собой разумеется, рассматриваемая мера, в данном случае мера Лебега). Преобразование, тесно связанное с данным, на единичном интервале определяется формулой Говоря яснее, я рассматриваю полусегмент [0, 1) и полагаю если если Если то есть сумма полусегментов так что Аналогичные рассуждения показывают, что если произвольный полусегмент. Отсюда легко следует, что преобразование сохраняет меру. Так как преобразование не взаимно-однозначно (в действительности оно всюду двукратно) и так как оно не может быть сделано взаимно-однозначным путем выбрасывания какого-либо множества меры нуль, то

мы получаем таким образом пример необратимого сохраняющего меру преобразования. Изоморфное представление того же самого преобразования (в пока еще не определенном, но совершенно очевидном смысле) получается следующим образом. В качестве пространства с мерой возьмем множество всех комплексных чисел, по модулю равных 1, с измеримостью, понимаемой в смысле Бореля, и с мерой, нормированной так, что мера каждой дуги равна ее длине, умноженной на определяем формулой

Простой пример обратимого, сохраняющего меру преобразования на действительной оси дает формула . В более общем случае конечномерного евклидового пространства определим положив где с — некоторый фиксированный вектор. Мы получим еще более общий случай, если в локально компактной группе с левоинвариантной мерой Хаара выберем некоторый элемент с и определим положив Мы получим полезный частный случай этого последнего обобщения, если рассмотрим группу комплексных чисел, по модулю равных 1; в этом случае реализуется геометрически как поворот на угол Можно построить изоморфное представление того же самого частного случая на единичном интервале, выбрав некоторое число с, заключенное между 0 и 1, и положив Подробнее: если , если

Другую группу примеров можно получить, рассмотрев на плоскости преобразование Прообразом единичного квадрата здесь является прямоугольник с основанием и высотой 2. Аналогично прообраз каждого прямоугольника представляет собой прямоугольник той же площади; отсюда следует, что это преобразование сохраняет меру. Ясно, что оно обратимо. Обобщим этот пример. Для этой цели рассмотрим произвольное линейное преобразование конечномерного евклидова пространства. Такое преобразование переводит все пространство в некоторое подпространство. Всякое собственное подпространство имеет меру нуль, отсюда следует, что преобразование может сохранять меру лишь в том случае, если оно невырождено.

Если невырожденное преобразование с детерминантом то, как известно, для всякого борелевского множества (Доказательство этого хорошо известного факта редко приводится. Оно может быть проведено аналитическими методами, с использованием понятия якобиана; прямое доказательство см. в книге Caratheodory, Vorlesungen ueber Funktionen, 1927, стр. 346.)

Невырожденные линейные преобразования действительного конечномерного векторного пространства можно охарактеризовать как непрерывные автоморфизмы аддитивной векторной группы. Это естественно наводит на мысль рассмотреть произвольную локально компактную группу с левоинвариантной мерой Хаара и некоторый непрерывный автоморфизм этой группы. Для того чтобы выяснить, является ли сохраняющим меру преобразованием, мы должны сравнить Функция множества является, очевидно, мерой. Естественно поставить вопрос, будет ли она левоинвариантной мерой Хаара. Иными словами, верно ли равенство Ответ получается утвердительный, так как представляет собой левый сдвиг множества в самом деле, очевидная выкладка показывает, что . В силу единственности меры Хаара отсюда вытекает, что может отличаться от лишь постоянным множителем. Это, вообще говоря, все, что мы можем утверждать; примеры невырожденных линейных преобразований показывают, что автоморфизм не обязан быть сохраняющим меру. Однако если группа X компактна, то конечна и, следовательно, указанный выше постоянный множитель можно вычислить, положив так как то этот множитель равен 1 и автоморфизм сохраняет меру.

Интересен частный случай, который получается, если за рассматриваемую группу взять тор, т. е. декартово произведение двух окружностей. Конкретнее: элементы этой группы суть пары комплексных чисел, равных по модулю 1, а групповая операция представляет собой покоординатное умножение. Легко показать, что произвольный автоморфизм такой группы задается некоторой унимодуллрной матрицей второго порядка, т. е. матрицей с целочисленными элементами и детерминантом ±1. Если — такая матрица, то соответствующий автоморфизм определяется формулой

Пусть X — пространство последовательностей описанное выше, и пусть преобразование,

порождаемое сдвигом всех индексов на единицу, где Это преобразование сохраняет меру и обратимо. Если X — пространство односторонних последовательностей, т. е. его элементы суть последовательности где то та же самая формула определяет сохраняющее меру, по не обратимое (двукратное) преобразование.

Существует простое отображение пространства односторонних последовательностей на единичный отрезок; переводит последовательность нулей и единиц в число, записывающееся в виде двоичной дроби Преобразование сохраняет меру и по существу взаимно-однозначно. Оно не является в точности взаимно-однозначным, поскольку двоично-рациональные числа имеют по два разных двоичных разложения. Множество тех последовательностей, образы которых являются двоично-рациопальпыми числами, имеет ту же мощность, что и само множество двоично-рациональных чисел; каждое из этих двух множеств счетно. Если мы переопределим соответствующим образом для этих исключительных последовательностей, то мы получим обратимое сохраняющее меру преобразование, переводящее пространство последовательностей в единичный отрезок. Существование такого отображения показывает, что с точки зрения теории меры данные два пространства изоморфны между собой. Этот изоморфизм (т.е. преобразование переводит односторонний сдвиг в некоторое обратимое сохраняющее меру преобразование единичного отрезка; определяется формулой Внимательное рассмотрение преобразований показывает, что наш старый знакомый: почти всюду.

Существует естественное соответствие между пространством двусторонних последовательностей и декартовым произведением пространства односторонних последовательностей на себя; это соответствие переводит точку

в

Это соответствие представляет собой, как легко проверить, обратимое сохраняющее меру преобразование, т.е. изоморфизм (в смысле теории меры). Обозначим этот изоморфизм пусть означает декартов

квадрат преобразования что где х, у — односторонние последовательности), тогда произведение представляет собой изоморфное отображение пространства двусторонних последовательностей на единичный квадрат. Этот изоморфизм переводит двусторонний сдвиг в обратимое сохраняющее меру преобразование определенное на квадрате. Рассмотрев введенные только что преобразования, мы увидим, что является близким родственником нашего старого знакомого, именно

и

(Эти равенства, справедливые почти всюду, следует, естественно, понимать как равенства по модулю 1.) Преобразование можно представить геометрически следующим образом. Применим к единичному квадрату линейное преобразование, переводящее в в результате получим прямоугольник с основанием и левой стороной отрежем правую половину этого прямоугольника (для которой основанием является и поместим ее, сделав параллельный перенос, в верхнюю половину единичного квадрата. Поскольку эта операция слегка напоминает действия, производимые при замешивании теста, преобразование иногда называют «преобразованием пекаря».