Категории

Я возвращаюсь теперь к рассмотрению слабой топологии. Я хочу изложить некоторые сведения о топологической массивности трех важных множеств преобразований, а именно преобразований сильно перемешивающих, слабо перемешивающих и эргодичсских.

Первая теорема о категориях. В слабой топологии множество всех сильно перемешивающих преобразований имеет первую категорию.

Доказательство.

Пусть множество всех периодических преобразований периода к (т.е. таких преобразований для которых обозначим сумму (по всем множеств Из теоремы о слабой аппроксимации следует, что каждое из множеств всюду плотно.

Пусть первая половина единичного интервала; положим Множество замкнуто в слабой топологии. Если пересечение (по всем множеств и если сумма (по всем множеств то содержит все сильно перемешивающие преобразования; поэтому достаточно доказать, что ссть множество первой категории. В свою очередь для этого достаточно доказать, что каждое нигде не плотно; поскольку замкнуто, это эквивалентно доказательству того, что всюду плотно. Еще одна редукция: так как есть сумма (по всем множеств достаточно доказать, что Но это последнее тривиально; если то следовательно, что не принадлежит

Для изучения класса слабо перемешивающих преобразований мне понадобится одна лемма, интересная и сама по ссбс.

Лемма о сопряженности. В слабой топологии класс преобразований, сопряженных любому фиксированному апериодическому преобразованию То (т.е. множество всех преобразований вида всюду плотен в

Доказательство.

Пусть двоичная окрестность перестановки требуется доказать, что при некотором преобразование принадлежит Обозначим слабую окрестность, определенную так же, как и по с заменой Из теоремы о слабой аппроксимации вытекает, что содержит циклическую перестановку ранга k. большего, чем ранги всех и такого, что Воспользовавшись теоремой о равномерной аппроксимации вместо соответственно), найдем преобразование имеющее (почти) всюду период и такое, что

Я утверждаю, что сопряжены в Для доказательства этого обозначим через двоичные интервалы ранга к, упорядоченные так, что и обозначим через такое множество меры что множества попарно не пересекаются. Положим и пусть любое сохраняющее меру преобразование, переводящее Преобразование можно продолжить на весь интервал, положив при Схематически

Легко проверить, что

Теперь доказательство уже почти закончено. Так как и так как инвариантно относительно групповых операций, получаем

Отсюда я заключаю, что

Следовательно, доказательство закончено.

Вторая теорема о категориях. Множество всех слабо перемешивающих преобразований есть, в смысле слабой топологии, всюду плотное

Доказательство.

Пусть множество слабо перемешивающих преобразований. Ясно, что каждый элемент из апсриодичсп и что множество замкнуто относительно операции сопряжения. Далее, так как не пусто, то, принимая во внимание лемму о сопряженности, достаточно показать, что есть

Для проведения этого доказательства я обозначу символом унитарный оператор, порожденный сохраняющим меру преобразованием . Я должен воспользоваться тем фактом, что если то функция, принимающая в точке значение непрерывна в слабой топологии группы это сразу вытекает из того, что слабая топология группы совпадает со слабой топологией в пространстве операторов, рассматриваемой на множестве унитарных операторов.

Пусть счетное плотное в множество; положим

и

Из того, что непрерывно зависит от следует, что каждое открыто, а потому К есть Воспользовавшись описанием слабого перемешивания в терминах сходимости вне некоторого множества нулевой плотности, мы видим, что я закончу доказательство, показав, что Это удобнее всего доказывать от противного: я покажу, что если преобразование не является слабо перемешивающим, то оно не принадлежит К.

Если преобразование не является слабо перемешивающим, то по теореме о перемешивании имеет нетривиальную собственную функцию. Не ограничивая общности, я могу предположить, что существуют такая функция и такая константа с, равная по абсолютной величине 1, что Пусть таково, что ; я покажу, что не принадлежит К, доказав, что при этом значении преобразование не содержится в ни

при каком значении Я должен доказать, следовательно, что

для всех значений

Заметим, что Так как

то

доказательство теоремы закончено.

Из второй теоремы о категориях вытекает, что в смысле слабой топологии совокупность всех слабо перемешивающих преобразований есть множество второй категории; отсюда следует, что эргодические преобразования тем более образуют множество второй категории. С помощью приема, аналогичного использованному в доказательстве второй теоремы о категориях, можно показать, что эргодические преобразования образуют множество, которое в смысле слабой топологии есть всюду плотное это заведомо проще, чем соответствующий результат для слабо перемешивающих преобразований.

Теоремы о категориях часто используются как метод доказательства существования. Вторая теорема о категориях относится, конечно, к числу подобных теорем: существование слабо перемешивающих преобразований было использовано в пей в самом ходе доказательства. Однако из совокупности обеих теорем о категориях вытекает существование преобразований, перемешивающих слабо, но не перемешивающих сильно. Вторая теорема о категориях дает одновременно и доказательство гипотезы Биркгофа о том, что в некотором смысле эргодические преобразования представляют собой общий случай.

Исторически вторая теорема о категориях предшествовала первой; я доказал ее в работе, озаглавленной «Общее, сохраняющее меру преобразование есть перемешивание» (Ann. of Math., 1944, стр. 786). Первая теорема о категориях и ее изящное доказательство были найдены

В. А. Рохлиным (ДАН СССР. 1948, стр. 349); его работа называется: «Общее преобразование с инвариантной мерой не есть перемешивание».

Группе был посвящен ряд дальнейших исследований. Отмечу, не предрешая возможностей применения этих результатов, что, как доказал Харада (Harada, Japan Acad., 1951, стр. 523), группа G топологически проста (т. е. она не имеет нетривиальных замкнутых нормальных делителей) и линейно связна.