Равномерная аппроксимация

Чтобы получить аппрокеимациоппую теорему, отвечающую равномерной топологии, удобно опереться на следующий результат, представляющий и некоторый самостоятельный интерес.

Лемма. Если борелевские множества на интервале X, имеющие одну и ту же меру, то существует такое обратимое сохраняющее меру преобразование интервала X, что

Доказательство.

Существует много путей для доказательства (и попутно усиления) этой леммы; некоторые из них повели бы нас окольными путями через исследование различных аномалий борелевских множеств. Простое и удобное доказательство, основанное на соображениях теории меры, проводится следующим образом. Если то доказывать нечего. Если же эти меры отличны от пуля, то пусть произвольное обратимое эргодическое преобразование на При некотором целом положительном значении мера множества не равна нулю; определим на как Далее будем проводить индукцию. Если то, применив те же самые рассуждения, найдем имеющий положительную меру кусок множества который отображается некоторой степенью преобразования и определим на этом куске как соответствующую степень преобразования На всем преобразование определяется путем повторения, возможно, трапсфипитпого, этой процедуры, т.е. методом исчерпывания. Применив затем тот же самый процесс мы продолжим на все

Заметим, что, как видно из этой леммы, метрическая структура любого борелевского множества та же самая, что и у интервала. Отсюда, в частности, следует, что на всяком борслсвском множестве положительной меры существуют эргодические, сохраняющие меру преобразования.

Аналогом теоремы о слабой аппроксимации в случае равномерной топологии является утверждение, что множество всех

периодических преобразований плотно в в смысле равномерной топологии. Это утверждение непосредственно вытекает из разложимости преобразования на апериодическую и периодические части и из следующего количественного утверждения, относящегося к апериодическим преобразованиям.

Теорема о равномерной аппроксимации. Если некоторое апериодическое преобразование, то для каждого целого положительного и для каждого положительного существует такое преобразование что имеет всюду период

Доказательство.

Воспользовавшись леммой 2 предыдущего параграфа, построим такое измеримое множество что множества попарно не пересекаются и Если х принадлежит то положим если то положим Преобразование определено, таким образом, на На всей своей области определения оно периодично с периодом причем

независимо от того, как мы продолжим на все Следовательно, все, что остается сделать, это доопределить на так, чтобы оно было всюду периодично с периодом Возможность такого доопределения сразу вытекает из леммы, доказанной в начале этого параграфа.

Первоначальный вариант теоремы о равномерной аппроксимации послужил леммой в доказательстве теорем о категориях, речь о которых будет идти в следующем параграфе стр. 786): в этом варианте было вместо Приведенный выше вариант был опубликован (без изложения доказательства) В. А. Рохлиным (ДАН СССР, 1948, стр. 349).

Из этой теоремы вытекает интересное следствие; я утверждаю, что в смысле равномерной топологии множество всех эргодических преобразований нигде не плотно в В самом деле, я знаю, что каждая сфера в содержит периодическое преобразование скажем периода

Пусть положительное число, меньшее чем и такое, что сфера К с центром и радиусом целиком лежит внутри данной сферы; для доказательства нашего утверждения достаточно показать, что ни одно из принадлежащих К преобразований не эргодично. Чтобы доказать это, рассмотрим некоторое и положим По построению Пусть тогда Если то отсюда следует, что Поскольку преобразование могло бы быть эргодично только при Однако отсюда следовало бы. что значит, таким образом, преобразование ни в каком случае не может быть эргодично.

Взглянув на метрику мы сразу видим, что двум преобразованиям очень трудно быть близкими между собой в равномерной топологии. Другими словами, равномерная топология очень сильна (существует много открытых множеств); фактически она настолько сильна, что почти совпадает с дискретной. Следовательно, утверждение, что некоторое множество (как, например, множество периодических преобразований) всюду плотно в смысле равномерной топологии, вскрывает глубокие структурные свойства сохраняющих меру преобразований. С другой стороны, по тем же самым причинам некоторому наперед заданному множеству (такому, как множество всех эргодических преобразований) весьма просто оказаться нигде не плотным; утверждение о том, что некоторое множество топологически мало (например, нигде не плотно или имеет первую категорию), является по существу лишь проявлением свойств самой топологии.