Сходимость в среднем

Теорема о возвращении гласит, что при соответствующих условиях, наложенных на преобразование почти каждая точка произвольного измеримого множества возвращается в бесконечно много раз. Естественно спросить: какое же в точности время проводит в такая возвращающаяся точка? В более точной постановке проблема формулируется так: дана некоторая точка х (для наших теперешних целей не существенно, принадлежит х множеству или нет) и дано целое положительное число рассмотрим отношение числа тех значений к при которых к общему числу рассматриваемых значений к (т.е. к ) и вычислим предел этого отношения при При этом, конечно, совсем не очевидно, существует ли этот предел в каком-либо смыслс и в каком именно.

Если характеристическая функция множества то интересующее нас отношение можно записать в виде Вопрос о среднем времени пребывания представляет собой, таким образом, вопрос о сходимости, в смысле Чезаро, последовательности Первый существенный шаг здесь был сделан вскоре после того, как стало ясно, что нет никакой необходимости и даже нежелательно ограничиваться рассмотрением одних лишь характеристических функций.

Если произвольная функция на X, то равенство определяет на X некоторую другую функцию Если мы положим то представляет собой некоторое отображение, определенное для функций на Это отображение обладает некоторыми важными свойствами. Самым очевидным свойством отображения является его линейность: если, например, две комплекснозначные функции на X, а два комплексных числа, то Если преобразование сохраняет меру, то и обладает важным свойством, состоящим в том, что оно переводит пространство в себя и даже является в этом пространстве изометрическим оператором. Это, как известно, означает, что если

то (символ означает норму в Доказательство совсем простое. Если характеристическая функция множества конечной меры, то характеристическая функция множества для данного случая требуемый результат вытекает из равенства Отсюда и из линейности следует, что оператор сохраняет нормы конечных линейных комбинаций характеристических функций, так называемых простых функций. Если неотрицательная функция, то является пределом (в смысле точечной сходимости) возрастающей последовательности неотрицательных простых функций. Так как при этом также является возрастающей последовательностью неотрицательных функций, то из теоремы об интегрировании монотонных последовательностей вытекает, что так же как и Таким образом, требуемый результат установлен для неотрицательных функций. Для общего случая он вытекает из того факта, что в каждая функция имеет ту же норму, что и Отмстим, что в проведенных выше рассуждениях конечность меры основного пространства X нигде не использовалась.

Из того, что есть изометрический оператор в сразу следует, что является изометрическим оператором в для доказательства следует лишь заметить, что норма в смысле функции равна квадратному корню из нормы функции Если обратимое сохраняющее меру преобразование, то обратимый изометрический оператор; обратным к нему является оператор V, определяемый равенством Обратимый изометрический оператор в гильбертовом пространстве является унитарным; мы доказали, таким образом, что оператор, порождаемый в обратимым сохраняющим меру преобразованием, унитарен. На этот факт впервые указал Купман стр. 315).

Основная асимптотическая проблема эргодической теории сводится, таким образом, к изучению предельного поведения средних вида изометрический оператор в гильбертовом пространстве. Однако в терминах гильбертова пространства вопрос естественно ставить не о точечной сходимости средних — а скорее об их сходимости в среднем (квадратичном). Утверждение, что сходимость в среднем всегда имеет место, является первым результатом

современной эргодичеекой теории. Этот результат (для унитарных операторов) впервые доказал Нейман; см. замечания Г. Д. Биркгофа и Купмана об истории вопроса (Proc. Nat. Aca,d. Sci., 1932, стр. 281). Теорема Неймана называется статистической эргодичеекой теоремой в отличие от соответствующего результата Биркгофа — так называемой индивидуальной эргодичеекой теоремы.

В случае, когда вместо гильбертова пространства рассматривается пространство одномерное, эргодическая теорема Неймана превращается в изящный и простой факт из классического анализа. В этом случае изометрический оператор представляет собой комплексное число и, по модулю равное 1, и рассматривается вопрос о сходимости последовательности средних Если то каждое из этих средних равно 1. Если то среднее равно и, следовательно, абсолютная величина среднего не превосходит откуда видно, что эти средние стремятся к нулю.

В более общем случае пространства конечной размерности каждый изометрический оператор определяется некоторой унитарной матрицей, которую, без ограничения общности, можно считать диагональной. Так как диагональные элементы такой матрицы суть комплексные числа, по модулю равные 1, то соответствующие средние сходятся к диагональной матрице, в которой диагональные элементы равны О или 1. Следовательно, предельная матрица, обозначим ее является проекционной; фактически она проектирует все пространство на подпространство таких векторов для которых

Простое и изящное доказательство эргодичеекой теоремы Неймана в общем случае было дано Риссом. Чтобы изложить это доказательство, я должен буду воспользоваться одним простым фактом, относящимся к изометрическим операторам в комплексном гильбертовом пространстве. Прежде всего установим необходимые для дальнейшего обозначения, связанные с гильбертовым пространством. Норма вектора в гильбертовом пространстве будет всегда обозначаться символом Если гильбертово пространство реализуется в виде то индекс в мы будем, как правило, опускать. Скалярное произведение векторов обозначается в случае пространства суммируемых с квадратом функций (Обратим, между прочим, внимание на обозначение интеграла. В тех случаях, когда не

возникает сомнений, по какой именно мере берется интеграл, мы будем писать вместо Если область интегрирования явно не указана, то всегда имеется в виду интеграл по всему пространству.) Оператор, сопряженный к обозначается он определяется равенством справедливым для всех Единичный оператор в гильбертовом пространстве мы обозначим

Вспомогательное предложение об изометрических операторах, нужное для дальнейшего, таково: если изометрический оператор, то в том и только в том случае, если Действительно, если то, применив к обеим частям этого равенства получим, что (Оператор изометричен, т.е. удовлетворяет условию для всех в том и только в том случае, если Доказывается это в общем случае так же, как и в конечномерном пространстве. Предостережение: в конечномерном случае из следует в общем случае это неверно. Другими словами, изометрический оператор в бесконечномерном гильбертовом пространстве может быть не унитарен.) Обратно, если то, как я сейчас покажу, Действительно,

Так как и аналогично то доказательство закончено.

Теперь мы имеем возможность доказать теорему, являющуюся незначительным обобщением теоремы Неймана.

Статистическая эргодическая теорема. Если изометрический оператор в комплексном гильбертовом пространстве и оператор, проектирующий это пространство на подпространство всех векторов, инвариантных относительно то стремится к для любого

Доказательство.

Если то очевидно, стремится к Если при некотором то представляет собой сумму разностей,

в которой все члены, кроме крайних, сокращаются; эта сумма равна Отсюда получаем, что

и, следовательно, рассматриваемые средние стремятся к нулю. Заключительная часть доказательства состоит в установлении того, что каждый вектор представляет собой комбинацию, в определенном смысле, таких для которых и элементов вида

Множество элементов вида представляет собой линейное многообразие, обязательно замкнутое. Из равномерной ограпиченности средних следует, что для всякого принадлежащего замыканию этого многообразия. Вообще, ссли и если для всех к, то Доказательство: заметив, что

выберем к так, чтобы была достаточно мала; тогда будет тоже мала (независимо от выбора После этого выберем так, чтобы была мала

Ортогональное дополнение множества элементов вида совпадает с ортогональным дополнением замыкания этого множества. Если принадлежит этому ортогональному дополнению, т.е. для всех то т. е. для всех Отсюда следует, что значит. Эти рассуждения можно провести в обратном порядке, так что ссли то для всех Вывод: ортогональное дополнение множества элементов вида совпадает с множеством элементов инвариантных относительно Отсюда следует, что каждый элемент может быть записан в виде где принадлежит замыканию многообразия элементов вида Тем самым доказательство статистической эргодической теоремы закончено.

Изложенные сейчас методы и результаты были обобщены на широкий класс операторов и групп операторов, действующих в весьма общих абстрактных векторных пространствах. Я не собираюсь вдаваться в изложение этих обобщений, а, напротив, хочу обратиться к более тонким метрическим проблемам.