Инвариантные меры

Почти сказанное выше относилось к сохраняющим меру преобразованиям, теперь я хочу выяснить, сколь вероятно, что некоторое преобразование является сохраняющим меру.

Предположим, как обычно, что X — пространство с мерой, определенная на нем сигма-конечная мера и определенное па X измеримое преобразование; для простоты я предположу, что обратимо. Задача состоит в нахождении меры определенной на том же классе измеримых множеств, что и и инвариантной относительно

Такая формулировка задачи не вполне удовлетворительна. Каким еще условиям, кроме инвариантности, должна удовлетворять мера Тривиальным образом задача всегда разрешима: если тождественно равна нулю, то является инвариантной мерой. Единственный эффективный способ исключить этот крайний случай (и аналогичные ему столь же неприятные случаи) — это предположить, чтор имеет не больше множеств меры нуль, чем мера то. Выражаясь точнее, потребую, чтобы мера то была абсолютно непрерывна по отношению к т. е. чтобы обращалась в пуль как только Это уточнение задачи, однако, все еще не вполне достаточно. Чтобы продемонстрировать имеющиеся здесь трудности, примем за число точек множества Ясно, что инвариантная мера и что то абсолютно непрерывна относительно однако столь же ясно и то, что эта мера опять-таки является тривиальным решением задачи. Способ исключить такого рода состоит в наложении на требования сигма-конечности (подобно сигма-конечности меры то). Еще более радикальный способ, разумеется, — потребовать, чтобы была конечна.

Проблема инвариантной меры распадается на две части. Пусть дано обратимое измеримое преобразование пространства X с сигма-конечной мерой то; при каких условиях существует конечная мера инвариантная относительно и такая, что то. абсолютно непрерывна по отношению к (проблема При каких условиях существует сигма-конечная мера удовлетворяющая тем же условиям (проблема )? Для

решения этих проблем целесообразно свести их к некоторым связанным с ними более специальным вопросам.

Прежде всего, я утверждаю, что меру можно без уменьшения общности предполагать конечной. Действительно, предположим, что счетный класс попарно непересекающихся множеств, сумма которых равна X (такой класс существует в силу сигма-конечности то), и пусть соответствующая счетная система положительных чисел, такая, что ряд сходится. Если то конечная мера, эквивалентная те (т.е. то и имеют одни и же множества меры пуль). Поэтому мера та будет абсолютно непрерывна по отношению к в том и только в том случае, если такова будет мера Заменив то на я могу считать, что и сделаю, меру конечной; в дальнейшем буду полагать, что

Преобразование мы предположили обратимым, по, естественно, не считали его сохраняющим меру. Может даже случиться, что существует измеримое множество меры нуль, которого положительна (или положительная или и то и другое). Преобразование, для которого это имеет место, называется сингулярным; если и равны нулю как только равно нулю, то называется несингулярным. Я утверждаю, что с точки зрения проблемы инвариантной меры (в обоих ее вариантах) можно без ограничения общности считать, что несингулярно.

Для доказательства этого утверждения предположим, что где такая последовательность положительных чисел, что Положим Ясно, что нормированная мера и та, абсолютно непрерывна относительно та о. Я утверждаю, что если то абсолютно непрерывна по отношению к некоторой инвариантной мере то тоже абсолютно непрерывна по отношению к Действительно, если то для всех следовательно, при всех отсюда следует, как и утверждалось, что Из этого замечания вытекает, что проблема нахождения при заданной мере то равносильна нахождению при заданной мере то . Однако если то поэтому я могу, что я и сделаю, считать несингулярным (по отношению к ).

Дважды изменив то, я добился конечности то и несингулярности Мое третье и последнее замечание в этом плане состоит в том,

что при отыскании инвариантной меры можно ограничиться классом мер, эквивалентных то. Точнее говоря, я утверждаю, что если некоторая сигма-конечная инвариантная мера, по отношению к которой те абсолютно непрерывна, то существует такая сигма-конечная инвариантная мера что то эквивалентна при этом, ссли конечна, то тоже конечна. Для доказательства этого найдем, воспользовавшись теоремой Радона-Никодима, такую функцию что для каждого измеримого множества но, хотя для нас и не существенно, что в силу конечности меры то функция принадлежит по мерс Если то следовательно, в силу несингулярности преобразования также при всех Если В — сумма (по всем множеств то В — измеримое инвариантное множество и Если то есть мера; мера так же как и сигма-конечна, и инвариантна относительно Если то следовательно, но поскольку отсюда вытекает, что Обратно, если то Так как и так как то следовательно, Мы достигли намеченной цели.

Проблема (или проблемы) инвариантной меры сведена теперь к следующей: дано некоторое обратимое, измеримое и несингулярное преобразование некоторого пространства с конечной мерой то, ищется конечная (или, иначе, сигма-конечная) мера эквивалентная то, и инвариантная относительно