Инвариантные меры: решение

В некотором малопривлекательном смысле проблему инвариантной меры можно считать решенной. Чтобы уточнить, в каком именно смысле, мне нужно ввести одно новое понятие. Пусть некоторая бесконечная последовательность попарно непересекающихся множеств, сумма которых есть пусть, далее, другая такая же последовательность с суммой и пусть, наконец, такая последовательность целых чисел, что При этих условиях я буду называть множества эквивалентными относительно счетного разложения. (Ясно, что так определенное отношение действительно обладает всеми свойствами эквивалентности.) Если мера инвариантна относительно то как только эквивалентны.

По аналогии с дсдскипдовским определением конечности я буду говорить, что измеримое множество ограничено, если оно не эквивалентно относительно счетного разложения никакому своему собственному подмножеству; точнее, называется ограниченным, если каждое его измеримое подмножество, эквивалентное относительно счетного разложения, совпадает (с точностью до множества меры пуль) с Множество называется сигма-ограниченным, если оно представимо как сумма счетного числа ограниченных множеств. Преобразование называется ограниченным (или сигма-ограниченным), если все пространство X ограничено (соответственно сигма-ограничено).

Если проблема инвариантной меры имеет решение то каждое множество, имеющее конечную меру ограничено; следовательно, если конечна, то ограничено, а если сигма-конечна, то сигма-ограничено. Малопривлекательное решение проблемы инвариантной меры, о котором я упоминал выше, состоит в том, что верно и утверждение, обратное к только что высказанному: если ограничено, то существует конечная инвариантная мера, эквивалентная заданной, а если сигма-ограничено, то существует сигма-конечная мера с теми же свойствами. Для конечного случая это утверждение было доказано Э.Хопфом (E.Hopf, Trans. Amcr. Math. Soc., 1932, стр. 373), а для сигма-копсчпого мною (Annals of Math., 1947, стр. 735).

Понятие неограниченности является своего рода обобщением понятия сжимаемости. Точнее если сжимаемо, то неограничено. Действительно, если то что предполагается несингулярным); отсюда следует, что неограничено и, тем более, что неограничено. Отсюда в свою очередь следует, что проблема инвариантной меры не может иметь решения, если сжимающее преобразование. Предположим, что пссжимающсс, имеет ли проблема конечной инвариантной меры решение в этом случае? Этот вопрос считался нетривиальным. Он оставался открытым в течение пятнадцати лет. Этот вопрос равносилен следующему: существует ли консервативное преобразование для которого не существовало бы конечной инвариантной меры, эквивалентной исходной? (Другие предположения также остаются в силе: предполагается измеримым, обратимым и несингулярным, равно как и консервативным.) В настоящее время известно, что ответ здесь утвердительный и доказательство не сложно. Пусть эргодическое, сохраняющее меру преобразование на прямой. (Прямая, разумеется, не является пространством с конечной мерой, но это не существенно: лебегова мера может быть заменена, если угодно, эквивалентной ей конечной мерой. Чтобы упростить рассмотрение этого примера, не буду делать такой замены.) Ясно, что измеримо, обратимо и несингулярно: я докажу, что оно консервативно и что для пего не существует никакой инвариантной конечной меры, эквивалентной исходной.

Если некоторое измеримое множество, непересекающееся с при то множества попарно не имеют общих точек Если мера множества положительна, то существует такое измеримое подмножество что Сумма всех представляет собой нетривиальное инвариантное множество; это противоречит эргодичности следовательно, действительно консервативно.

Предположим теперь, что некоторая конечная инвариантная мера, эквивалентная то. В силу теоремы Радона-Никодима существует такая неотрицательная интегрируемая по то функция что для всякого измеримого Отсюда следует, что отсюда и из инвариантности меры я заключаю, что должна быть инвариантна (почти всюду)

относительно Но тогда из эргодичности преобразования следует, что постоянна (почти всюду); так как интегрируема по мере Лебега на всей прямой, то должна быть почти всюду равна пулю. Но тогда мера тождественно равна нулю в противоречие с предположением об эквивалентности и то.

Приведенное выше доказательство не использует понятия ограниченности. Причина, по которой «решение» проблемы инвариантной меры в терминах этого понятия является неудовлетворительным, состоит в том, что не видно каких-либо путей использования этого понятия. Содержательность относящейся сюда теоремы Хопфа (т.е. существование преобразований, нетривиальным образом неограниченных) сама по себе была доказана с использованием понятия конечной инвариантной меры. Что касается моей теоремы по этому поводу, то ее содержательность пока не установлена; возможно, что всякое измеримое, обратимое и несингулярное преобразование сигма-ограничено; мне кажется, что эта гипотеза неверна; представляется весьма вероятным, что существуют преобразования, не являющиеся сигма-ограниченными. Однако, поскольку я не верю, что понятие ограниченности может явиться инструментом для решения рассматриваемой нами проблемы, я не буду тратить время на доказательство двух упомянутых теорем, связанных с этим понятием. Вместо этого я займусь тем, что сформулирую нашу нерешенную проблему в двух или трех более обнадеживающих вариантах.