Следствия из эргодичности

Для эргодических преобразований эргодическую теорему можно усилить, добавив к ней описание самой предельной функции. Точнее говоря, если эргодическое сохраняющее меру преобразование, интегрируемая функция и то постоянна почти всюду. Если мера пространства бесконечна, то это постоянное значение равно нулю. Причина этого состоит в том, что интегрируема, а в этом случае — единственная интегрируемая константа. (Это опять-таки свидетельствует о том, что в случае бесконечной меры у нас нет оснований предполагать справедливым равенство Если мера пространства конечна, то равенство интегралов от показывает, что Другими словами, для эргодического сохраняющего меру преобразования, действующего в пространстве с конечной мерой, фазовое пространственное) среднее почти всюду равно временному среднему, т. е. Это утверждение, весьма важное в физическом аспекте теории, иногда (неправильно) отождествляется с самой эргодической теоремой. Остается открытым вопрос, интересный как с математической, так и с физической точки зрения, о нахождении удобных (т.е. легко проверяемых), достаточных условий эргодичности преобразования.

Для пространств с конечной мерой равенство константе временного среднего для любой интегрируемой функции является необходимым и достаточным условием эргодичности. Чтобы доказать это, достаточно проверить, что каждая инвариантная функция из будет в этом случае константой, а это вытекает из того, что каждая инвариантная функция совпадает со своим временным средним. В случае пространства с бесконечной мерой может оказаться, что все временные

средние постоянны, хотя соответствующее преобразование и неэргодично; в качестве примера примем за X целочисленную решетку на плоскости и определим положив . В этом случае константа нуль является единственной инвариантной функцией в

Для эргодических преобразований, действующих в пространствах с конечной мерой, и неотрицательных измеримых функций справедливо следующее обращение эргодичеекой теоремы: если — стремится почти всюду к некоторому конечному пределу, то интегрируема. Для доказательства этого заметим прежде всего, что рассматриваемый предел равен почти всюду некоторой константе с. Если функция, получающаяся из с помощью урезания на уровне к (т.е. , если если ), то ограничена и, следовательно, интегрируема. Из теоремы об интегрировании монотонных последовательностей вытекает, что интегралы стремятся к интегрируемость функции можно установить, показав, что последовательность ограничена. Так как то следовательно, почти всюду. Поэтому для всех к и, значит, интегралы ограничены той же величиной.

Последний результат непосредственно распространяется на полуинтегрируемые измеримые действительные функции, т.е. такие измеримые функции которых или положительная, или отрицательная части интегрируемы. То обстоятельство, что указанный выше результат не распространяется на произвольные действительные измеримые функции, устанавливается с помощью следующего примера, построенного Герпстснхабером. Соответствующее пространство является пространством типа «лестницы», которое ранее было использовано при построении эргодического преобразования на прямой; преобразование представляет собой продолжение эргодического преобразования заданного на основном интервале, такое же, как и в том примере. Отсюда следует, что само эргодично. Вспомогательные числа (т.е. длины интервалов составляющих пространство X)

выбираются так, что сходится и расходится. Этим условиям можно удовлетворить, положив, например, равным Из вытекает, что конечна. Если при при то из следует, что не интегрируема; действительно, ни положительная, ни отрицательная части не интегрируемы.

Так как в силу в сумме вида все члены, за исключением, может быть, двух крайних, взаимно уничтожаются, а абсолютные значения крайних членов не превосходят то существует и фактически равен нулю для всех

Для эргодического преобразования определенного на пространстве меры сделал одно интересное дополнение к теореме о возвращении (Кас, Bull. Amer. Math. Soc., 1947, стр. 1006). Пусть измеримое множество положительной меры и при каждом означает наименьшее целое положительное число, такое, что тогда определено почти всюду на Легко проверить, что измеримая функция на Теорема Каца состоит в том, что (Доказательство не сложно, но требует несколько искусственной комбинаторики; я его опускаю.) Если этот результат записать в виде то ему можно придать следующую словесную формулировку: среднее время, за которое точка из снова возвращается в обратно пропорционально мере множества Для неэргодических преобразований это утверждение неверно.

Предположим снова, что эргодическое, сохраняющее меру, преобразование, определенное в пространстве X с конечной мерой, и пусть два измеримых подмножества из X, а соответственно их характеристические функции. Тот факт, что т. е. почти всюду, можно выразить следующим образом: среднее время пребывания в для почти всех траекторий пропорционально Так

как то из теоремы о почленном интегрировании ограниченных сходящихся последовательностей следует, что Если для каждого измеримого множества величину интерпретировать как вероятность того, что некоторая точка принадлежит то последний результат можно сформулировать следующим образом: вероятность того, что некоторая степень рассматриваемого преобразования переводит точку из стремится, в смысле сходимости по Чезаро, к произведению вероятностей попадания в Другими словами, движущееся множество стремится стать в среднем стохастически независимым от любого фиксированного множества

Эргодичность налагает строгие и весьма замечательные ограничения на спектральную структуру соответствующего унитарного оператора; основные известные по этому поводу факты можно резюмировать следующим образом.

Теорема о собственных значениях. Обратимое сохраняющее меру преобразование действующее в пространстве с конечной мерой, эргодично в том и только в том случае, если число 1 является простым собственным значением соответствующего унитарного оператора Если эргодично, то абсолютное значение каждой собственной функции оператора постоянно, каждое собственное значение имеет кратность 1 и совокупность всех собственных значений оператора представляет собой подгруппу группы вращений окружности.

Доказательство.

Поскольку мера пространства конечна, каждая постоянная на нем функция входит в Так как то число 1 всегда является собственным значением оператора Поскольку совокупность всех постоянных функций образует в одномерное подпространство и поскольку эргодично в том и только в том случае, когда константы являются единственными инвариантными функциями в первое утверждение теоремы справедливо. (Вспомним, что функция из инвариантна в том и только в том случае, когда она является собственной функцией оператора отвечающей собственному значению 1.)

Так как оператор унитарен, то каждое его собственное значение по модулю равно 1. Отсюда следует, что если есть собственная

функция, отвечающая собственному значению с почти всюду), то инвариантен; в силу эргодичности отсюда вытекает, что Если две собственные функции, отвечающие собственному значению с, то инвариантная функция и, следовательно, отличается лишь постоянным множителем от . (Заметим, что имеет смысл, поскольку ненулевая константа.) Таким образом, доказана простота всех собственных значений. Наконец, если — собственные значения оператора соответствующие собственные функции, то собственная функция оператора отвечающая собственному значению отсюда следует, что собственные значения оператора образуют группу.

Я закончу это предварительное рассмотрение понятия эргодичности описанием одного частного примера неэргодического преобразования и обсуждением, возникающего в связи с этим примером предположения. Пространство X, в котором соответствующее преобразование действует, представляет собой единичный квадрат или, точнее, тор, поскольку все операции рассматриваются по модулю 1; само преобразование определяется формулой Если где измеримая функция на единичном интервале, то инвариантна относительно изобилие таких инвариантных функций показывает, что неэргодично. Для каждого фиксированного вертикальный отрезок, отвечающий (т. е. множество пар вида инвариантен относительно Преобразование рассматриваемое на таком сегменте, является сохраняющим меру; на почти всех таких сегментах оно эргодично. (На самом деле оно эргодично на всех сегментах, кроме тех, у которых рационально; число таких сегментов счетно.) Таким образом, исходное преобразование является прямой суммой (прямым интегралом), в интуитивно очевидном смысле, эргодических преобразований; данное разложимое преобразование распадается, таким образом, на неразложимые куски. Естественно предположить, что такая ситуация является типичной, и это предположение в известном смысле справедливо. Однако, поскольку доказательство этого факта довольно тонко и поскольку, что уже хуже, соответствующий результат не принес пока никакой реальной пользы, я опущу здесь подробное обсуждение теоремы о разложении. Я упомянул эту теорему ввиду ее эвристической ценности. Многие теоремы в этом круге вопросов можно обычно угадать, предположив, что теорема о разложении имеет место; доказательства же их могут быть получены

непосредственно, т. е. без использования того сложного и тонкого аппарата, с помощью которого теорема о разложении доказывается.

В качестве одного из примеров результатов такого рода, угадываемых с помощью теоремы о разложении, рассмотрим вопрос о единственности инвариантной меры. Предположим сперва, что обратимо и эргодично; что можно сказать о мере имеющей ту же область определения, что и то, эквивалентной то (т.е. в том и только в том случае, если и инвариантной относительно Ответ гласит, что отличается от то постоянным множителем. Для доказательства, воспользовавшись теоремой Радона-Никодима, напишем равенство Так как то, воспользовавшись инвариантностью и заменив переменную интегрирования х на получим, что для каждого измеримого множества Отсюда следует, что почти всюду равна константе; поскольку то абсолютно непрерывна относительно эта константа отлична от нуля. Если конечна, то полученный результат можно сформулировать так: пусть эргодично, тогда существует единственная мера эквивалентная то, инвариантная относительно и принимающая для всего пространства X заданное значение. Рассмотрение эргодических частей неэргодического преобразования подсказывает следующее обобщение: если сохраняющее меру преобразование в пространстве с конечной мерой и заданная мера на алгебре всех инвариантных множеств, эквивалентная мере то на той же алгебре, то существует единственная конечная инвариантная мера определенная на совокупности всех измеримых множеств, эквивалентная то и совпадающая с то на инвариантных множествах. Это обобщение справедливо. Метод доказательства аналогичен той радон—никодимовской технике, которая была использована выше; детали я опускаю.