Равномерная топология

Изучение различных топологий и взаимоотношений между ними представляет собой, несмотря на большую популярность этих вопросов в теории линейных топологических пространств, довольно скучное занятие. Тот факт, что слабая и сильная топологии в пространстве операторов совпадают между собой, если их рассматривать лишь для сохраняющих меру преобразований, — просто находка: забот на одну топологию меньше. Оказывается, таким образом, что на самом деле в множестве сохраняющих меру преобразований (или, точнее, автоморфизмов) существуют в точности две полезные топологии (в противовес тому путаному изобилию, которое имеется в теории операторов). Прежде чем продолжить рассмотрение приложений слабой топологии, я введу для автоморфизмов другую полезную топологию; я буду называть ее равномерной топологией.

Пусть элементы группы автоморфизмов; положим

Ясно, что обладает свойствами расстояния и легко проверить, что инвариантно относительно всех групповых операций (умножение слева и справа, переход к обратным элементам). Равномерная топология — это, по определению, та топология, которая определяется метрикой с этой топологией представляет собой топологическую группу.

Полезным подспорьем при изучении метрики является другая метрика по определению

То, что обладает свойствами расстояния, проверяется непосредственно. Неравенство треугольника вытекает из того, что если отлично от то или или отлично от Метрика инварианта относительно всех групповых операций. Для умножения слева это очевидно.

Чтобы доказать инвариантность относительно перехода к обратным элементам, заметим, что

Инвариантность относительно умножения справа следует из инвариантности относительно умножения слева и относительно перехода к обратному.

Сейчас я должен несколько уклониться в сторону и изложить ряд вспомогательных фактов. Они будут использованы в дальнейшем, по представляют и некоторый самостоятельный интерес; непосредственным поводом для их изложения является выяснение связи между

Прежде всего я должен изложить некоторые элементарные факты, относящиеся к понятию периодичности. Если при некотором целом положительном то преобразование называется периодическим в точке наименьшее положительное называется периодом в точке х. Соответствующее глобальное понятие вводится тоже стандартным образом: если при некотором то преобразование называется псриодичсским, а его периодом называется наименьшее положительное для которого равенство справедливо. Ясно, что периодическое преобразование периодично в каждой точке обратное, однако, неверно. Если периодично лишь на множестве меры нуль, то я буду говорить, что апериодично.

Каждое преобразование может быть естественным образом разбито на периодическую и апериодическую части. Точнее, пусть означает множество тех точек, в которых имеет период и пусть дополнение суммы всех этих тогда апериодично на

Лемма 1. Если периодично с периодом почти в каждой точке пространства X, то существует такое измеримое множество меры что множества попарно не пересекаются.

Доказательство.

Если то доказывать нечего. Если то должно существовать такое измеримое множество что иначе было бы периодично с периодом 1 почти всюду. Так как то из сохранения меры преобразованием следует, что

Другими словами, если то измеримое множество положительной меры, такое, что не имеют общих точек. При рассуждения на этом заканчиваются. Если то существует, я утверждаю, такое измеримое подмножество что иначе бы имело период 2 почти в каждой точке множества Положим как и выше, получаем, что не пересекаются. Проделав таким образом шагов, я получу убывающую цепочку множеств положительной меры, такую, что не пересекаются. Если то не пересекается с и отсюда следует, что множества попарно не пересекаются. При этом может, однако, не выполняться условие Чтобы исправить это, нужно рассмотреть дополнение множества и провести для пего же самые рассуждения, которые были проведены для (Верно, хотя это и не существенно, что данное множество инвариантно.) Продолжим наши рассуждения по индукции, если понадобится, то трансфинитной. Поскольку система попарно непересекающихся множеств положительной меры не может быть несчетной, процесс оборвется на некотором счетном трапсфипитс.

Лемма 2. Если апериодично, то для каждого целого положительного и каждого положительного существует такое измеримое множество что множества попарно не пересекаются и

Доказательство.

Пусть такое целое положительное число, что Первый существенный шаг доказательства состоит в использовании доказательства леммы вместо Это доказательство дает следующее: строится такое измеримое множество положительной меры, что попарно не пересекаются и что максимальное, по мере, среди таких множеств. (Это означает, что не существует множества, содержащего которое превосходило бы по мере и имело бы указанные свойства.) Из максимальности следует, что если измеримое подмножество множества имеющее положительную меру, то должно иметь положительную меру для некоторых (Иначе, объединив мы получили бы противоречие с предположенной максимальностью Отсюда в свою очередь следует, что если множество таких точек х из

что но при то попарно непересекающиеся множества исчерпывают почти все

Множества в каждом из столбцов таблицы

попарно не пересекаются (поскольку они представляют собой результаты применения одной и той же степени преобразования к непересекающимся подмножествам множества а два множества, находящиеся в разных столбцах, тоже не пересекаются (так как их прообразы, отвечающие соответствующей степени преобразования лежат в различных множествах, принадлежащих системе Далее, я утверждаю, что все эти множества (т. е. множества при не пересекаются ни с одним из следовательно, пересекаются с Действительно, если то содержится в множестве которое пусто; если же к то так что пусто (в силу определения следовательно, тоже пусто.

Из проведенных выше рассуждений следует, в частности, что множества суть попарно непересекающиеся подмножества множества их меры равны соответственно мерам множеств значит, в сумме составляют откуда вытекает, что они почти исчерпывают все Отсюда я получаю, что множество

почти инвариантно относительно Из апериодичности вытекает теперь, что почти совпадает с X, поскольку иначе с помощью дополнения к можно было бы увеличить максимальное множество

Теперь я уже в состоянии определить нужное нам множество Грубо говоря, для получения нужно взять каждое из множеств а также каждое множество в каждой из строк таблицы настолько далеко, насколько это возможно.

Точнее,

Ясно, что множества попарно не пересекаются. То, что не входит в их сумму, содержит менее чем множеств из каждой строки таблицы Это означает, что для каждого часть строки, не входящая в имеет меру меньшую, чем следовательно,

Так как множества попарно не пересекаются, то и доказательство закончено. (Идея этого доказательства была указана мне Орнстейном.)

Теорема о сравнении.

Доказательство.

Поскольку инвариантны относительно групповых операций, достаточно доказать, что ) Для каждого сохраняющего меру преобразования Если то заметим, что инвариантно относительно и что таким же свойством обладает каждое подмножество множества Если произвольное измеримое множество, то

откуда следует, что

Для того чтобы установить оценку снизу, рассмотрим разбиение пространства X на его апериодическую и периодические части. Применив лемму вместо X, при найдем измеримое подмножество множества непересекающееся с и удовлетворяющее условию Применив лемму 1 к найдем такое измеримое подмножество

множества что попарно не пересекаются, причем

Определим новую систему множеств следующим образом. Если то Если то есть сумма и образов множества при всех четных положительных степенях автоморфизма меньших чем (т.е. в случас нечетного множество не входит в Множество не пересекается с Далее, если то а если то Отсюда следует, что где Если есть сумма всех таких (т.е. заметим, что никакого нет), то не пересекается с и Следовательно,

доказательство закончено.

Сдвиги на единичном интервале на и на показывают, что обе оценки в теореме сравнения не могут быть улучшены.

Из теоремы сравнения видно, что обе метрики — как так и приводят к одной и той же топологии, а именно к равномерной. Возможность пользоваться каждый раз той метрикой, которая в данный момент времени удобна, часто облегчает доказательство тех или иных свойств равномерной топологии. Так, например, из определения сразу же видно, что слабая топология слабсс, чем равномерная. Отсюда следует, что группа полна и в равномерной топологии. Действительно, если последовательность фундаментальна в смысле метрики то слабо (двусторонне) фундаментальна и, следовательно, сходится к некоторому в смысле слабой топологии; легко показать, что тогда сходится к и в равномерной топологии. (Слабый предел последовательности, фундаментальной в смысле равномерной топологии, обязательно являстся равномерным пределом.) С другой стороны, для доказательства, что не сепарабельна в смысле равномерной топологии, проще всего воспользоваться метрикой если Та означает сдвиг на единичном интервале на то как только а Отсюда мы попутно заключаем, что равномерная топология действительно сильпсс, чем слабая топология.