Слабая аппроксимация

Я буду называть интервал двоичным интервалом ранга некоторую сумму таких интервалов фиксировано) двоичным множеством ранга Под псрсстаповкой (точнее, двоичной псрсстаповкой ранга я буду понимать обратимое сохраняющее меру преобразование (или, скорее, отвечающий ему автоморфизм), переводящее каждый двоичный интервал ранга в другой двоичный интервал того же ранга с помощью обычного псрсноса. Циклическая перестановка ранга это перестановка, которая циклически переставляет двоичные интервалы ранга (Предостережение: это означает, что соответствующая перестановка состоит только из одного цикла, а вовсе не то, что каждый двоичный интервал ранга переходит в тот, который непосредственно следует за ним в естественном порядке.) Двоичная окрестность (некоторого автоморфизма это множество вида где некоторое двоичное множество. Двоичные окрестности образуют производящую систему окрестностей для рассматриваемой топологии в конечные пересечения их образуют в базис. Основная в этом круге вопросов теорема утверждает, по существу, что перестановки всюду плотны в Иногда оказывается полезной следующая более детальная формулировка.

Теорема о слабой аппроксимации. Каждая двоичная окрестность содержит циклические перестановки сколь угодно высокого ранга.

Доказательство.

Сперва я докажу, что если некоторая перестановка и некоторая ее двоичная окрестность, то содержит циклические перестановки сколь угодно высокого ранга; после этого я для завершения доказательства покажу, что перестановки всюду плотны в Каждое есть некоторое двоичное множество. Отсюда следует, что существует такое целое что каждое из этих множеств является двоичным множеством ранга

при этом целое число можно выбрать сколь угодно большим. Выберем так, что Каждый двоичный интервал ранга представляет собой сумму двоичных интервалов ранга k. Я определю теперь циклическую перестановку ранга к так, что

Начнем с двоичного интервала ранга Если оставляет на месте, то пусть отображает первый (в смысле естественного порядка) подынтервал ранга к из на первый из подынтервалов ранга к множества Если не переводит обратно в то положим, что отображает первый подынтервал ранга к множества на первый подынтервал ранга к множества Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока не достигнем последнего члена в -цикле множества пусть это будет Перестановка переводит снова в пусть переводит первый подынтервал ранга к из во второй подынтервал ранга к множества Пройдем снова весь цикл, но с заменой всюду слова «первый» на «второй». Дойдем здесь до конца и затем положим, что переводит второй подынтервал ранга к из в третий подынтервал ранга к множества Будем повторять этот процесс еще и еще, до тех пор пока не достигнем последнего подынтервала ранга к в Пусть двоичный интервал ранга не пересекающийся с -циклом множества (т.е. отличный от и пусть переводит последний подынтервал ранга к из в первый подынтервал ранга к множества Повторим для тот же самый процесс, который был описан для а затем проделаем то же самое для всех циклов, на которые раскладывается перестановка Перестановка должна переводить последний подынтервал ранга к в последнем члене последнего цикла перестановки в первый подынтервал ранга к первоначально выбранного интервала

Ясно, что циклическая перестановка ранга k. Из построения следует, что если некоторый двоичный интервал ранга (не обязательно то самое которое было выбрано выше), то Двоичное множество ранга прсдставляст собой объединение не более чем двоичных интервалов ранга поэтому, если произвольное двоичное множество ранга то

Отсюда следует, что остается доказать, что перестановки всюду плотны в

Я должен показать, что если произвольное преобразование и если его двоичная окрестность, то содержит некоторую перестановку. Я могу предполагать, что двоичные множества представляют собой совокупность всех двоичных интервалов некоторого определенного ранга (так что равно некоторой степени двойки); окрестность, определенная такими интервалами и достаточно малым заведомо содержится во всякой двоичной окрестности. Идея доказательства состоит в аппроксимации множеств двоичными множествами и затем соответствующей перестановке этих двоичных множеств.

Класс Во двоичных множеств плотен в метрическом пространстве множеств (или, точнее, в алгебре с мерой); он замкнут относительно конечных булевских операций, а мера каждого из принадлежащих ему множеств равна некоторому двоичному рациональному числу. Далее, если Во и если некоторое двоичное рациональное число между и то содержит подмножества меры принадлежащие Эти специальные свойства класса и дают мне возможность доказать соответствующую аппроксимационную лемму. Я перечисляю эти свойства потому, что существуют и другие классы множеств, отличные от Во. которые обладают теми же свойствами и которыми нам придется пользоваться; самым примечательным из примеров такого рода классов является совокупность множеств вида где Во.

Предположим теперь, что разбиение пространствах, — положительное число, положительные двоичные рациональные числа, такие, что сумма их равна при Я утверждаю, что существует такое разбиение пространства X, что: 1°) каждое принадлежит Во; 2°) Для доказательства начнем с того, что аппроксимируем достаточно точно каждое из некоторым множеством из Во; пусть — точность этой аппроксимации. Множества которые мы при этом получим, не обязаны составлять разбиение пространства X, а меры их не обязаны иметь указанные выше значения. Так как то отличается меньше, чем на от следовательно, меньше, чем на от Произведем теперь замену множеств моя первая задача — сделать их попарно непересекающимися. Поскольку

и поскольку мера пересечения каждого с суммой всех остальных меньше, чем Измененные это множества, которые получаются после выбрасывания этих пересечений. Меры этих новых множеств отличаются меньше чем на от и новые аппроксимируют множества с точностью до Теперь уже попарно не пересекаются, однако их сумма не обязана составлять все X, а их меры имеют не совсем те значения, которые требуются. Необходимо еще одно их изменение. От каждого «слишком толстого» множества такого, что я отниму столько, чтобы сделать его меру равной и разницу добавлю к дополнению суммы всех затем к каждому «тощему» я добавлю из этого дополнения столько, чтобы сделать его меру равной и при этом не вывести из Поскольку такие дважды исправленные множества аппроксимируют с точностью до доказательство завершается замечанием, что можно выбрать настолько малым, чтобы это последнее выражение было меньше, чем .

Вернемся теперь к окрестности Множества образуют разбиение пространства Пусть такое положительное число, что Применив аппроксимационную лемму, получим такое разбиение пространства X на двоичные множества, что Применив снова ту же лемму (на этот раз к -прообразам этих двоичных множеств), получим такое разбиение пространства X на двоичные множества, что Так как сохраняет меру, то отсюда следует, что

Пусть к — такое целое число, что все имеют ранг k. Пусть перестановка ранга к, переводящая Так как есть сумма (по ) множеств то находится в близости и, следовательно, в -близости от суммы (по ) множеств Отсюда следует, что находится в -близости от суммы (по ) множеств Поскольку эта последняя сумма находится в -близости от суммы (по ) множеств а следовательно, и от получаем, что находится в -близости от тем самым доказательство теоремы о слабой аппроксимации закопчено.