Дискретный спектр

Говорят, что преобразование имеет дискретный спектр (или чисто точечный спектр), если в существует базис (т.е. полная ортогональная нормированная система функций) каждый элемент которого является собственным вектором порожденного унитарного оператора и.

Теорема о дискретном спектре. Два эргодических преобразования, каждое из которых имеет дискретный спектр, сопряжены в том и только в том случае, когда порожденные ими унитарные операторы эквивалентны.

Доказательство.

Достаточно доказать, что из эквивалентности вытекает сопряженность. Пусть заданные эргодические преобразования, и пусть порожденные ими унитарные операторы. Пусть С множество всех собственных значений оператора так как эквивалентны, то С одновременно является и совокупностью всех собственных значений оператора Каждому с из С отвечает собственный вектор оператора Из теоремы о собственных значениях следует, что не умаляя общности, можно предположить, что Из той же теоремы о собственных значениях следует (в силу эргодичности что определена однозначно, с точностью до постоянного множителя, равного по модулю единице. Из того, что имеет дискретный спектр, следует, что семейство образует базис в

Если принадлежат С, то собственный вектор оператора отвечающий собственному значению отсюда следует существование такой константы равной по модулю единице, что Я утверждаю, что существует такое гомоморфное отображение группы всех функций, равных по модулю единице, на группу вращений окружности, при котором каждая постоянная функция переходит в равную ей константу. Если бы рассматриваемые функции были бы действительно функциями, а не классами эквивалентных между собой (т. е. совпадающих почти всюду) функций, то это утверждение было бы тривиальным: такой гомоморфизм можно осуществить,

поставив в соответствие каждой функции ее значение в определенной точке. Однако, поскольку этот прием здесь не проходит, приходится воспользоваться несколько более изощренной теоретико-групповой техникой. Допустим на минуту, что требуемый результат уже получен. Если то применение к равенству, определяющему постоянный множитель показывает, что завь Отсюда следует, что если то отображение, которое каждому с из С ставит в соответствие функцию является гомоморфизмом. Другими словами, мы можем, не уменьшая общности, считать, что каковы бы ни были из С. Аналогично для каждого с из С мы можем найти такую функцию модуль которой постоянен и равен единице, что есть собственный вектор оператора V, отвечающий собственному значению с, причем семейство образует базис в Для любых из С.

Теперь пришло время взяться за теоретико-групповую лемму, использованную в нашем доказательстве. Поскольку элементы группы вращений окружности могут быть отождествлены с соответствующими постоянными функциями и поскольку группа вращений окружности группа с неограниченным делением (т. е. из каждого элемента этой группы может быть извлечен корень любой степени), паша лемма может быть сформулирована следующим образом: если некоторая абелева группа и К — ее подгруппа с неограниченным делением, то К служит для ретрактом, т. е. существует такое гомоморфное отображение на К, которое на К является тождественным. (По поводу этой леммы в иных контекстах см. А. Вейль, Интегрирование в топологических группах. ИЛ. 1950, стр. 108, или Kaplansky. Infinite abelian groups, 1954, стр. 8).

Для доказательства упорядочим по продолжению ретракции на К подгрупп группы содержащих К, и воспользуемся затем леммой Цорна. Если максимальный элемент множества ретракций, то

подгруппа на которой он определен, должна совпадать с Действительно, пусть и пусть подгруппа, порожденная Каждый элемент из имеет вид где целое. Если никакая положительная степень элемента принадлежит то такое представление единственно; если наименьшая положительная степень, такая, что то существует единственное представление указанного вида с В первом случае положим во втором случае пусть корень степени из в К, тогда положим В обоих случаях представляет собой ретракцию на кроме того, является продолжением ретракции Это противоречит предположению о максимальности

Для завершения доказательства теоремы о дискретном спектре рассмотрим унитарный оператор такой, что для всех с из С. Я утверждаю, что оператор мультипликативен, т.е. если ограниченные функции, то Если где то это вытекает из определения и мультипликативных свойств систем В силу линейности это распространяется на конечные линейные комбинации элементов Предельный переход (сперва при фиксированной ограниченной функции а затем еще раз при фиксированной не представляет трудностей. Из теоремы об умножении следует, что порождается некоторым автоморфизмом алгебры с мерой. Доказательство завершается следующей элементарной выкладкой: откуда видно, что

С помощью теоремы о дискретном спектре можно получить ответы на все, пожалуй, вопросы, касающиеся эргодических преобразований

с дискретным спектром; общий метод можно продемонстрировать на следующем результате.

Теорема о представлении. Всякое эргодическое сохраняющее меру преобразование с дискретным спектром сопряжено некоторому преобразованию сдвига на компактной абелевой группе.

Доказательство.

Пусть С — спектр (т. е. совокупность всех собственных значений) рассматриваемого преобразования, и пусть X группа характеров группы С. Положим для каждого с из С, тогда элемент группы Сдвиг на X, определенный равенством представляет собой сохраняющее меру преобразование с чисто точечным спектром, причем этот спектр совпадает с С. Дискретность спектра вытекает из свойств характеров группы Они образуют полную ортогональную нормированную систему в пространстве функций на X, и, если один из этих характеров, то так что есть собственная функция, отвечающая собственному значению Это рассуждение заодно показывает, что спектр преобразования состоит из всех причем каждое из этих собственных значений имеет кратность, равную числу тех характеров группы X, для которых Если каждому с поставить в соответствие функцию определенную на X равенством то это соответствие будет изоморфным отображением С на группу характеров группы Так как для всех с, то отсюда следует, как и утверждалось, что спектр преобразования есть С. Поскольку это же соотношение показывает, что каждый элемент из С имеет в спектре преобразования кратность единица, сдвиг эргодичен. Теперь уже теорема о представлении непосредственно следует из теоремы о дискретном спектре.

Из теоремы о представлении и из ее доказательства вытекают некоторые интересные следствия.

Следствие 1. Каждая подгруппа группы вращений окружности является спектром некоторого эргодического сохраняющего меру преобразования с дискретным спектром.

Доказательство.

В конструкции, примененной в доказательстве теоремы о представлении, ничего, кроме спектра С, не использовалось.

Следствие 2. Если эргодическое сохраняющее меру преобразование с дискретным спектром, то сопряжено произведению двух инволюций (преобразование S называется инволюцией, если тождественное преобразование).

Доказательство.

В силу теоремы о представлении я могу предполагать, что есть сдвиг, скажем на некоторой компактной абелевой группе Если и то есть инволюция; если то так что тоже инволюция. Ясно, что Доказательство закончено.

Следствие 3. Эргодическое сохраняющее меру преобразование с дискретным спектром сопряжено своему обратному.

Доказательство.

Это непосредственно вытекает из следствия 2; из доказательства видно, кроме того, что это сопряжение может быть осуществлено с помощью инволюции.

Простейшим примером сохраняющего меру преобразования является преобразование, определенное на чисто атомическом пространстве. Рассмотрим, например, преобразование определенное на дискретном пространстве целых чисел. Если то Написанные здесь равенства сохраняют смысл и в том случае, если в них целые числа заменить вычетами по некоторому целочисленному модулю, поэтому каждая циклическая (т.е. эргодическая!) перестановка конечного числа точек является произведением двух инволюций. Поскольку каждая конечная перестановка может быть разложена на независимые циклы, этот результат остается верным для всех (т. е. не обязательно эргодических) конечных перестановок. Отсюда следует, что каждая конечная перестановка подобна своей обратной. Этот последний факт ясен и из других соображений: каждый класс подобных между собой перестановок определяется набором чисел, указывающих количества циклов заданной длины, входящих в разложение перестановки, следовательно, подобие перестановки своей обратной вытекает из того, что каждая перестановка имеет разложение на циклы того же типа, что и обратная к ней. Я останавливаюсь на этих элементарных фактах потому, что они представляют собой дискретный костяк, на который опираются относящиеся к непрерывному случаю

обобщения, полученные выше как следствия из теоремы о представлении.

В каком случае из сохраняющего меру преобразования можно извлечь квадратный корень, т.е. когда существует такое сохраняющее меру преобразование что Поскольку единственная решенная часть этой задачи относится к преобразованиям с дискретным спектром, уместно именно сейчас изложить это решение.

Теорема о квадратном корне. Пусть эргодическое сохраняющее меру преобразование с дискретным спектром, определенное на пространстве с конечной мерой; оно сопряжено квадрату некоторого преобразования в том и только в том случае, когда число — 1 не является его собственным значением.

Доказательство необходимости (в этой части доказательства дискретность спектра не используется). Заметим сперва, что каждое множество (или функция), инвариантное относительно автоматически инвариантно и относительно Поэтому достаточно доказать, что если эргодическое преобразование, квадрат которого тоже эргодичен, и если такая функция из что то Поскольку по модулю постоянна, и из инвариантности относительно вытекает, что постоянна почти всюду.

Положим Так как то по теореме о собственных значениях где с некоторая константа, т.е. Отсюда следует, что значит, Так как то, не теряя общности, можно положить Из того, что собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, взаимно ортогональны, следует, что ортогонально т.е. Так как то доказательство закончено.

Доказательство достаточности. Пусть С спектр преобразования Пусть С — максимальная подгруппа группы вращений окружности, содержащая С и не содержащая Я утверждаю, что операция возведения в квадрат является на С автоморфизмом. Тот факт, что это отображение является гомоморфизмом, очевиден: то, что ядро этого гомоморфизма тривиально, следует из того, что С не содержит —1.

Остается доказать, что возведение в квадрат представляет собой отображение С на все С. Если бы это было не так, то в С нашелся бы элемент, скажем а, квадратный корень из которого не принадлежал бы С. Пусть квадратный корень из а (в группе вращений окружности) и группа, порожденная Из максимальности подгруппы С следует, что это означает, что при некотором с и некотором целом Так как принадлежит С, а принадлежит, то показатель должен быть нечетным, скажем Поскольку получаем, что следовательно (возведя в квадрат), что Это противоречит предположению, согласно которому в С не существует квадратного корпя из а; таким образом, доказано, что возведение в квадрат действительно является автоморфизмом для С. Пусть и — обратный к нему автоморфизм. Этот автоморфизм и, рассматриваемый как функция на С, со значениями на единичной окружности представляет собой характер группы С, обладающий тем свойством, что для всех с Если X — группа характеров группы — элемент из X, определенный условием для всех с, то, как мы уже знаем (из теоремы о представлении), сопряжено сдвигу относящему каждому элемент Сдвиг, переводящий х в их, является квадратным корнем из доказательство теоремы закончено.

Сформулированное условие является достаточным и без предположения эргодичности Т (Amer. J. of Math., 1942, стр. 159), но это не представляет интереса.