Инвариантные меры: проблема

Первая (и наименее интересная) переформулировка проблемы инвариантной меры состоит в следующем: существуют ли вполне неограниченные преобразования? (Под вполне неограниченным преобразованием я понимаю такое преобразование, для которого не существует ограниченных множеств положительной меры.) Чтобы доказать эквивалентность этого вопроса проблеме инвариантной меры, я буду рассуждать следующим образом. Сигма-ограниченное преобразование заведомо не является вполне неограниченным; следовательно, если бы было верно, что всякое преобразование сигма-ограничено, то вполне неограниченных преобразований не могло бы существовать. Наоборот, предположим, что существует некоторое преобразование, не являющееся сигма-ограниченным; я утверждаю, что в этом случае существует такое инвариантное множество положительной меры, на котором это преобразование вполне неограничено. Действительно, в противном случае каждое инвариантное множество положительной меры содержало бы ограниченное множество положительной меры. Отсюда и из того факта, что заданная мера сигма-конечна, легко получаем методом исчерпывания, что рассматриваемое преобразование сигма-ограничено.

Более перспективной переформулировкой проблемы инвариантной меры является сведение ее к решению некоторого функционального уравнения. Предположим, как и выше, что несингулярно; согласно теореме Радона-Никодима, существует такая положительная измеримая функция что для каждого измеримого Функцию естественно назвать якобианом преобразования она играет для ту же роль, что и абсолютная величина якобиана для дифференцируемых преобразований евклидова пространства. Преобразование является сохраняющим меру в том и только в том случае, если имеет почти всюду постоянное значение 1.

Если сигма-конечная, инвариантная мера, эквивалентная то, то существует такал положительная измеримая функция что Отсюда получаем в то

же самое время из полученного выше равенства с якобианом вытекает, что Отсюда следует, что почти всюду. Обратно, допустим, что это функциональное уравнение имеет положительное измеримое решение, и положим Ясно, что сигма-конечная мера, эквивалентов далее, так как

то мера инвариантна.

Интересно отметить, что положительное (но не обязательно измеримое) решение полученного функционального уравнения существует всегда. Все, что нужно сделать для нахождения такого решения — это на каждой траектории задать произвольно в одной точке х, а затем определить значения в точках, являющихся последовательными образами точки х, с помощью функционального уравнения. Если сохраняет меру (в этом случае, конечно, нет никакой необходимости рассматривать функциональное уравнение), паше уравнение превращается в т.е. в уравнение инвариантной функции, и всякая положительная копстапта является допустимым его решением. В общем случае произведение какой-либо инвариантной функции на решение нашего функционального уравнения есть другое его решение, и каждое такое решение может быть получено из некоторого частного решения путем умножения его на соответствующую инвариантную функцию.

Существование вполне неограниченных преобразований и разрешимость вышеуказанного функционального уравнения — это две переформулировки пашей основной проблемы. Я перейду теперь к структурной теореме, дающей способ построения произвольного непатологического преобразования с помощью таких преобразований, для которых проблема инвариантной меры тривиальным образом разрешима.

Существуют два класса преобразований, особенно простых с точки зрения вопроса о нахождении инвариантной меры. Один из них — это сохраняющие меру преобразования; для них проблемы просто нет. Другой — это класс простых преобразований; преобразование называется простым, если для него существует такое измеримое множество что все его образы попарно не пересекаются,

а на дополнении суммы этих образов преобразование сводится к тождественному. (Другими словами, преобразование простое, если его несжимающал, или консервативная, часть есть тождественное преобразование.)

Теорема о факторизации. Каждое измеримое, обратимое и несингулярное преобразование единичного отрезка представимо в виде произведения где сохраняет меру, простое преобразование.

Доказательство.

Для каждого х из положим Ясно, что монотонная неубывающая функция, удовлетворяющая условиям Если а и то Но тогда следовательно, строго возрастает.

Если числа стремятся к сверху, то множества образуют убывающую цепочку и их пересечение равно Отсюда следует, что непрерывна справа. Если же стремятся к снизу, то множества образуют возрастающую цепочку и их сумма есть отсюда вытекает непрерывность слева. Итак есть гомсоморфпос отображение отрезка на себя; отсюда автоматически вытекает, что обратимое и измеримое (по Борслю) преобразование.

Из равенств легко вытекает, что если какой-либо интервал (с концевыми точками или без них) и, следовательно, для любого борелевского множества (Отсюда легко получить, что несингулярно. Верно также, что измеримо как в лобсговском смысле, так и в борелевском смысле. Мне эти факты не понадобятся.) Если то обратимое измеримое преобразование. Так как то сохраняет меру; остается доказать, что преобразование простое.

Единичный отрезок есть сумма трех множеств причем каждое из двух последних, будучи открытым, представляет собой сумму не более чем счетного числа открытых интервалов, концевые точки которых принадлежат первому из указанных множеств. Если то последовательные образы интервала попарно не пересекаются и в сумме исчерпывают один из

открытых интервалов, составляющих В каждом из открытых интервалов каждого из двух множеств можно найти такой производящий подынтервал. Ясно, что сумма таких производящих подынтервалов есть блуждающее множество, последовательные образы которого исчерпывают всю сжимаемую часть интервала. Тем самым доказательство теоремы о факторизации закончено.

Что можно сказать о якобианах тех типов преобразований, для которых проблема существования инвариантной меры все еще остается открытой? Некоторую негативную информацию дает здесь следующая теорема.

Теорема об якобиане. Если измеримое обратимое несингулярное и несжимающее преобразование пространства X с сигма-конечной (но не обязательно конечной) мерой и если для каждого измеримого то сохраняет меру.

Доказательство.

Если не сохраняет меру, то существует такое измеримое множество что При обозначим через наименьшее в тех целых положительных чисел для которых Заметим, что в силу теоремы о возвращении конечно (почти всюду) на Положим Получаем Поскольку из предположения относительно вытекает, что по крайней мере для одного значения к, получаем, что следовательно, что сжимающее. (Идея этого доказательства была подсказана мне Орнстейном.)

Из этой теоремы вытекает, что якобиан представляющего интерес преобразования не может быть тождественно равен константе меньшей 1. Другими словами, не представляют интереса ни равномерно сжимающие меру преобразования, (переход к равномерно раздувающие ее.