Обобщенные эргодические теоремы

Первое обобщение, которое я собираюсь изложить, — это так называемая вероятностная эргодическая теорема (см. Ргос. Camb. Phil. Soc., 1942, стр. 325 и Ulam and von Neumann, Bull. Amer. Math. Soc., 1945, стр. 660). Простейший пример такого рода теорем можно получить, рассмотрев два сохраняющих меру преобразования (на одном и том же пространстве X) и изучив поведение последовательностей вида каждое получается из предшествующего ему умножением на или на Если каждый раз этот сомножитель «выбирается случайно», то становится осмысленным вопрос о вероятности того, что такал последовательность сходится почти всюду.

Корректный способ построения математической модели для бесконечной последовательности случайных выборок (из двух, или, если угодно, из любого числа объектов) достаточно хорошо известен. Пусть пространство с вероятностной (т. е. нормированной) мерой, и пусть пространство всех последовательностей (скажем, односторонних) элементов из снабженное мерой, построенной как бесконечное произведение (обозначим ее Предположим теперь, что каждой точке отвечает обратимое сохраняющее меру преобразование Ту пространства X с мерой то. Пусть обозначим произведение Здесь при определим положив Если некоторая комплексная функция на X, то при каждом фиксированном у имеет смысл спрашивать, сходится ли почти всюду последовательность а также спрашивать, какова мера множества тех у, для которых имеет место сходимость почти всюду.

Построение последовательности можно описать и иначе. Если сдвиг (односторонний) в то Другими

словами, если полагаю то следовательно,

при (Как и раньше, С этой точки зрения конструкция пространства представляется излишне специальной: она используется лишь для определения сохраняющего меру преобразования (Я мог бы получить тот же самый результат, относящийся к обратимому преобразованию просто рассмотрев пространство двусторонних последовательностей.) Если забуду о происхождении пространства (и если, для упрощения записи, я буду обозначать его, начиная с этого момента, то я приду, в конце концов, к следующему точному обобщению того результата, который не вполне отчетливо был сформулирован выше. Пусть пространства с нормированными мерами соответственно. Пусть некоторое сохраняющее меру преобразование пространства , при каждом сохраняющее меру преобразование пространства Предположим, что семейство измеримо, в том смысле, что отображение переводящее в представляет собой измеримое преобразование. Полагаем и при к 1.

Вероятностная эргодическая теорема. Если интегрируемая функция на X, то для почти всех у средние сходятся почти всюду, предельная функция интегрируема.

Доказательство.

Я докажу больше, чем необходимо; это «больше» само по себе представляет довольно интересное обобщение вероятностной эргодической теоремы. Рассмотрим преобразование пространства определенное формулой Из предположения об измеримости семейства следует, что измеримо и сохраняет меру. Действительно, оно представляет собой декартово произведение двух преобразований: (1) преобразования ( переводящего в и (2) преобразования ( переводящего в Из эргодической теоремы вытекает, что если интегрируемая функция на то сходится почти всюду к некоторому конечному пределу ; предельная функция интегрируема

и Это и есть обещанная прибыль; отсюда приведенная выше формулировка вероятностной эргодической теоремы получается как следствие.

Заметим (воспользовавшись несложной индукцией), что Если определяется равенством то . Все доказано; в качестве «сверхприбыли» я получаю, что (где смысл символа очевиден).

Нетривиальным вопросом, связанным с этим кругом идей, является вопрос об эргодических и перемешивающих свойствах вспомогательного преобразования . В некоторых частных случаях эргодичность преобразования может быть охарактеризована непосредственно в терминах преобразований общая проблема остается открытой. (См. Kakutani, Berkeley Symposium, 1951, стр. 247, и Gladysz, Bull. Polon., 1954, стр. 411).

Метод доказательства вероятностной эргодической теоремы (т.е. рассмотрение косых произведений преобразований, аналогичных имеет и другие применения. Вот пример: если сохраняющее меру преобразование пространства и если некоторая измеримая функция, равная по абсолютной величине единице, то модифицированные средние сходятся почти всюду к некоторому конечному (на самом деле интегрируемому) пределу в предположении, что заданная функция интегрируема на Чтобы доказать это, примем за X окружность (с нормированной лебеговской мерой) и положим при каждом Условия вероятностной эргодической теоремы выполнены. Если то, по эргодической теореме, сходится почти всюду к некоторому конечному пределу ; предельная функция интегрируема на (Преобразование определяется, естественно, формулой Так как

то для почти каждого х сходимость имеет место почти всюду по у. Для завершения доказательства остается найти какое-либо «хорошо ведущее себя» значение х и разделить на него.

Вот еще один результат такого же типа: если определены, как и выше, то для каждого с средние сходятся для почти всех Для доказательства этого рассмотрим преобразование на определенное равенством Если то конец доказательства очевиден. Попутно заметим, что средние для почти всех пар стремятся к конечному пределу. Для доказательства этого рассмотрим преобразование пространства определяемое формулой и заметим, что если то Самый сильный результат этого рода был анонсирован Винером и Винтнером (Amer. Л. of Math., 1941. стр. 794); они утверждают, что существует такое множество имеющее меру нуль, что если у не принадлежит то сходится для всех х. Я никогда не мог понять их доказательства.

Третье направление обобщений было впервые указано Гуревичем (Hurewicz, Annals of Math., 1944, стр. 195); этот результат относится к асимптотическому поведению преобразований, не обязательно сохраняющих меру. Если (как и обычно) мы ограничимся рассмотрением обратимых измеримых преобразований то едва ли мы ограничим общность, считал, то является несингулярным и несжимающим. Соответствующая редукция довольно подробно обсуждалась в предыдущих параграфах, посвященных проблеме инвариантной меры. Даже если мы не будем считать здесь эту редукцию вполне убедительной, несомненно то, что самая общая из известных эргодических теорем легко вытекает из теоремы средней общности, которую сейчас изложу, т. е. из теоремы для обратимых измеримых несингулярных несжимающих преобразований.

Положим, как мы уже это делали выше, (т.е. то Отсюда сразу получаем, что

где .

Теорема. Если интегрируема, то взвешенные средние

сходятся почти всюду к конечному пределу предельная функция интегрируема.

Здесь мера может быть бесконечна: если предполагается, что она конечна, то Доказательство этого результата отличается от доказательства теоремы Биркгофа лишь в малоинтересных деталях. Компактное доказательство можно найти в моей заметке на эту тему (Prос. Nat. Acad. Sci., 1946, стр. 156). До тех пор пока проблема инвариантной меры остается нерешенной, это направление в обобщении эргодических теорем не внушает доверил; насколько известно, оно не применимо ни в одном случае, который не охватывался бы непосредственно теоремой Биркгофа.

Три указанные выше обобщения могут быть соединены вместе. Существуют вероятностные эргодические теоремы, модифицированные с помощью функционального множителя при наличии инвариантной меры, существуют и аналогичные модификации эргодических теорем без предположения инвариантности меры; я не сомневаюсь, что должны существовать и легкодоступные модификации вероятностной эргодичеекой теоремы без предположения инвариантности меры. Вдаваться в подробности здесь я не буду.