Обобщенные собственные значения

Пусть обратимое сохраняющее меру преобразование пространства X с нормированной мерой. Я собираюсь рассмотреть некоторые классы функций, связанные с и некоторый метод построения новых классов из старых. Интересующие нас классы состоят из измеримых функций, равных по абсолютной величине единице. Если один из таких классов, то под мы будем понимать класс всех таких функций (измеримых и равных по абсолютной величине 1), для каждой из которых существует такая функция что почти всюду. Другими словами, элементы из можно рассматривать как собственные векторы, отвечающие обобщенным собственным значениям; эти собственные значения вместо того, чтобы быть константами, являются теперь элементами класса Полезно отмстить, хотя это и очевидно, что если то

Пусть множество всех постоянных функций (по абсолютной величине равных 1); определим по индукции, положив . В частности, элементы из это собственные функции; если мы предположим (что мы и сделаем, начиная с этого момента), что эргодично, то будет содержать все собственные функции преобразования с точностью до постоянного множителя. Если постоянна, то так как то отсюда следует, что так что Отсюда по индукции видим, что последовательность возрастающая. Отмечу попутно, что каждый класс представляет собой мультипликативную группу и инвариантен относительно (т.е. в том и только в том случае, если разумеется, унитарный оператор, порожденный ; доказательство этих фактов также легко получить с помощью индукции.

Если оказывается, что то для всех k. Обозначим наименьшее целое положительное значение при котором имеет место указанное равенство; при этом не исключена возможность, что окажется бесконечным. Во всяком случае, остается, очевидно, инвариантным при переходе от к преобразованию с ним

сопряженному, т. е. если сопряжены, то Я докажу существование эквивалентных, но не сопряженных между собой преобразований, указав два эквивалентных между собой преобразования для которых Заметим, что равенство представляет собой характеристику преобразований с непрерывным спектром.

Чтобы показать технику вычисления предположим, что X — окружность и эргодическое вращение: Класс состоит из всех собственных функций преобразования т.е. из всех функций и их произведений на константы. Пусть так что при некотором целом те и некоторой константе равной по абсолютной величине единице. Разложим в ряд Фурье: так как то апсп. Так как отсюда следует, что для всех то иначе должно было бы быть для всех что противоречит условию (Вспомним, что ряд должен сходиться.) Однако если то обычный собственный вектор оператора так что Мы доказали, что следовательно, что

Преобразования составляющие упомянутый выше контрпример, определяются следующим образом. В качестве пространства X берется тор. Пусть с — комплексное число, равное по абсолютной величине 1, но не являющееся корнем из 1, и пусть перемешивающее преобразование типа алеф-нуль на окружности. Положим и Я покажу, что эквивалентны, но Символами мы обозначим унитарные операторы, порожденные соответственно.

Положим хпуш, функции образуют полную ортогональную нормированную систему в Так как то функция о является собственной, отвечающей собственному значению а функции при то оператором преобразуются друг в друга и умножаются при этом на определенные постоянные числа. Я хочу избавиться от этих постоянных множителей. Иначе говоря, я хочу положить где постоянные, равные по абсолютной величине 1 при всех то и сделать это так, что при то Это требование налагает на константы известные ограничения; более детальное рассмотрение вопроса показывает, что этим условиям можно удовлетворить с помощью некоторого индуктивного построения. Им можно удовлетворить

также и с помощью явной формулы: выберем так, что и положим Окончательный результат можно, после некоторых очевидных изменений в обозначениях, сформулировать следующим образом. Существует полная ортогональная нормированная система, состоящая из последовательности и двойной последовательности таких, что собственный вектор, отвечающий собственному значению преобразуется в где Это полностью характеризует спектральную структуру преобразования

Перейдем теперь к вычислению Каждая функция из отличается лишь постоянным множителем от поэтому если то при некотором целом и некоторой константе такой, что При каждом фиксированном х функция может быть разложена по у в ряд Фурье, коэффициенты которого являются измеримыми функциями от х. Если так что Из наших вычислений значения для эргодического вращения вытекает, что единственная ненулевая возможность здесь — это и тогда функция сама должна быть собственной функцией для Отсюда следует, что должна отличаться лишь постоянным множителем от хкут при некотором k. Тривиальным образом проверяется обратное, т. е. если имеет указанный вид, то Отсюда, в частности, следует, что

Если , то Воспользуемся такими же разложениями, как и выше. Если то так, что Беря нормы правой и левой частей, получим, что Для всех Поскольку ряд сходится, это возможно лишь при Далее, если то как и раньше, отсюда следует, что единственная возможность, не приводящая к тождественному нулю, это и тогда должна равняться константе, умноженной на некоторую степень х. Отсюда в свою очередь следует, что мы доказали, что следовательно

Ситуация для аналогична. Пусть унитарный оператор, порожденный вспомогательным перемешивающим преобразованием типа алеф-нуль. Пусть ортогональная нормированная

система функций на окружности такая, что вместе с постоянной функцией 1 она образует базис, причем Положим Ясно, что Избавимся от множителя так же как это мы сделали выше, в случае оператора Эффективно это можно сделать, положив откуда Множество всех пар счетно, поэтому все эти пары можно перенумеровать целыми положительными числами Если мы обозначим через пары имеющей номер то получим самым доказательство эквивалентности операторов завершено.

Чтобы доказать, что предположим, что принадлежит классу для т.е. что при некотором целом к и некоторой константе равной по абсолютной величине 1. Разложим как функцию от у в ряд по Если

то

и

Отсюда вытекает, что следовательно, представляет собой константу, умноженную на некоторую степень х. Отсюда следует также, что Переходя к нормам, получаем, как и выше, что для всех пито. Отсюда следует, что следовательно, Доказательство закончено.

Полученный результат является весьма частным. Теперь мы, разумеется, знаем, что из эквивалентности не вытекает сопряженность. Однако, поскольку эквивалентные между собой преобразования имеют смешанный спектр (не дискретный и не непрерывный), мы не знаем ни того, следует ли из эквивалентности сопряженность для преобразований с непрерывным спектром, ни, в частности, того, будут ли сопряжены друг другу два перемешивающих преобразования типа алеф-нуль. Вопрос все еще остается открытым. Однако и пример со смешанным спектром имеет определенную ценность: сам метод

(т. е. построение обобщенных собственных значений и обобщенных собственных функций) представляет интерес независимо от того частного результата, для получения которого он был развит. У меня, например, сложилось впечатление, что обобщенные собственные значения могли бы дать в спектральной теории кое-что новое.

Преобразование S является частным случаем того, что Апдзаи назвал косым произведением (Anzai, Osaka J., 1951, стр. 83); используя такого рода косые произведения, Андзаи построил сохраняющее меру преобразование, не сопряженное своему обратному.