II. Тензорная алгебра

Понятие о тензоре может быть обобщено для любой группы тензор, относящийся к группе может быть определен при помощи линейного представления этой группы. Объекты, которые определяют этот тензор, могут быть конкретно интерпретированы различными способами.

Какова бы была рассматриваемая группа С, тензорное исчисление вводит определенные простейшие операции и подчиняется определенным общим теоремам, которые мы кратко и укажем.

25. Сложение двух эквивалентных тензоров.

Возьмем два эквивалентных тензора с составляющими которые выбраны таким образом, что линейное преобразование, соответствующее любому элементу группы О, одно и то же для переменных и для Назовем суммой этих тензоров тензор с составляющими х эта сумма дает тензор, эквивалентный данным тензорам. Вообще, величины где — определенные постоянные, определяют тензор, эквивалентный данным.

26. Произведение двух любых тензоров.

Пусть дани два тензора (эквивалентные или неэквивалентные) с составляющими

произведением этих тензоров называется тензор, определяемый составляющими

27. Некоторые основные теоремы.

Теорема I. Пусть — составляющие тензора, — переменные, которые преобразуются элементами группы О так, что сумма остается инвариантной; величин определяют тензор, природа которого зависит только от природы первого тензора.

В самом деле, пусть

— линейные преобразования составляющих первого тензора при применении элементов группы преобразования величин удовлетворяют тождеству

откуда

отсюда вытекает, что связаны с линейной подстановкой, зависящей исключительно от линейного преобразования составляющих

Теорема II. Пусть составляющие тензора, — величины, которые преобразуются элементами группы О таким образом, что выражения

преобразуются как составляющие тензора; тогда величин определяют тензор, природа которого зависит только от природы тензора и тензора Порядок этого тензора равен числу независимых линейных форм .

Предположим, в самом деле, что любым элементом группы О величины и гл преобразуются линейно:

имеем

откуда

Эти уравнения могут быть разрешены относительно величин причем эти последние выразятся линейно через

28. Приложение.

Мы видели (п. 19), что каждое бесконечно малое вращение зависит от величин причем вектор скорости точки х определяется следующим образом:

Мы говорили, что величины могут быть рассматриваемы как составляющие бивектора. В действительности мы не доказали этого: мы не убедились, что при применении вращения к вектору х и его скорости величины будут преобразовываться как составляющие бивектора. Рассмотрим проиэвольный вектор у и скалярное произведение (второе суммирование распространяется на сочетаний из индексов по два). Эта сумма является инвариантом; с другой стороны, величины определяют тензор, следовательно, являются составляющими тензора (теорема 1), и закон преобразования зависит только от закона преобразования величин

С другой стороны, пусть — два произвольных вектора, сумма

является инвариантом; таким образом, величины преобразуются, как и являются составляющими простого бивектора; следовательно, бесконечно малое вращение определяет тензор, эквивалентный бивектору.