1.2. Сведения из теории матриц

Пусть имеются два равенства, в которых коэффициенты -числа [3,111]

Рассматриваемое преобразование характеризуется таблицей коэффициентов которая называется матрицей. Например, для матрица а равна

Даны два преобразования характеризующиеся соответственно матрицами

Матрица, определяющая преобразование иначе говоря, матрица произведения у, имеет вид

Легко заметить правило образования элементов матрицы произведения на приведенном примере произведения двух матриц, имеющих по две строки и два столбца.

Каждый элемент строки матрицы а умножают на соответствующий элемент столбца матрицы и полученные произведения складывают. Например, элемент у 12 матрицы произведения, находящийся на пересечении первой строки и второго столбца, является суммой произведения первого элемента первой строки матрицы а на первый элемент второго столбца и второго элемента той же строки а на второй элемент того же столбца

Понятие произведения двух матриц приложимо не только к квадратным, и к прямоугольным матрицам. Однако важно отметить, что произведение матриц имеет смысл только в том случае, если число столбцов одной матрицы равно числу строк другой.

Если в качестве элементов перемножаемых матриц служат только символы 0 и 1, то операции умножения двух прямоугольных матриц производятся по следующим правилам.

1. Матрица произведения должна содержать число строк и столбцов, равных максимальным числам строк и столбцов перемножаемых матриц. Например, произведение матриц

дает матрицу

2. Каждый столбец матрицы произведения получается путем сложения по модулю два тех столбцов матрицы, имеющей наибольшее количество строк, номера которых совпадают с номерами строк, где расположены единицы соответствующего столбца матрицы, имеющей наибольшее количество столбцов.

Пример. Умножить матрицу на матрицу где

Первый столбец матрицы произведения равен третьему столбцу матрицы так как первый столбец матрицы содержащий наибольшее число столбцов, равное 7, имеет единицу в третьей строке. Аналогично второй столбец матрицы произведения будет равен второму столбцу матрицы в связи с тем, что второй столбец матрицы имеет единицу только во второй строке.

Третий столбец матрицы произведения равен сумме по модулю два второго и третьего столбца матрицы так как третий столбец матрицы содержит единицы во второй и третьей строках:

Аналогично находим остальные четыре столбца матрицы произведения Таким образом получим матрицу произведения двух матриц

Рассмотрим прямоугольную матрицу. Общий элемент -ее находится на пересечении строки и столбца

Элементы расположенные по нисходящей диагонали слева направо, образуют главную диагональ матрицы.

Диагональной называется матрица, все элементы которой равны нулю, кроме тех, что расположены на главной диагонали. Например, матрица диагональна.

Единичная матрица — это диагональная матрица, все элементы которой равны 1. Например, матрица в три столбца и три строки единичная.

Транспонированной матрицей называют матрицу, которую можно получить из матрицы а, заменив строки столбцами. Обозначим ее через Тогда Например, матрица

является транспонированной по отношению к матрице

Приведенные сведения о матрицах в дальнейшем используются при построении кодов.