4.10. Код Файра

Наиболее известным циклическим кодом, исправляющим одиночные пачки ошибок, является двоичный код Файра, причем для этого требуется небольшое число проверочных символов. Образующий полином данного кода [93] где неприводимый многочлен степени принадлежащий степени с — простое число, которое не делится на без остатка.

Многочлен принадлежит некоторой степени если наименьшее положительное число такое, что двучлен делится на без остатка. Для любого существует, по крайней мере, один неприводимый многочлен степени принадлежащий показателю степени

Например, если то и число в может принимать значения, которые не делятся на семь, т. е. 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 23 и т. д.

Длина кода Файра равна наименьшему общему кратному чисел с и т. е.

Число проверочных символов

Число информационных символов

Можно получить код меньшей длины с тем же числом проверочных символов, если пользоваться методом получения укороченных циклических кодов, рассмотренным с. § 4.3. При использовании кодов Файра можно исправить любую одиночную пачку ошибок длины или меньше и одновременно обнаружить любую пачку

ошибок длины или меньше, если

Если применять эти коды только для обнаружения ошибок, можно обнаружить любую комбинацию из двух пачек ошибок, длина наименьшей из которых не превосходит а сумма длин обеих пачек не превосходит а также любую одиночную пачку ошибок с длиной, не превосходящей числа проверочных символов

Пример. Код Фабра порождается полиномом

Определить параметры кода.

Так как то, используя формулы получаем

Этот код может быть использован, например, для исправления пачки ошибок длины или меньше и обнаружения любой пачки ошибок длины или для исправления пачек ошибок длины или меньше и обнаружения пачек ошибок длины Если использовать этот код исключительно для обнаружения ошибок, можно обнаружить любую одиночную пачку ошибок длины и любую комбинацию из двух пачек ошибок, длина наименьшей из которых не превосходит а сумма длин не превосходит с