Глава 5. ОЦЕНКА И ВЫБОР КОДОВ

5.1. Вероятность ошибки при передаче информации

избыточными кодами по каналам с независимыми ошибками

При проектировании систем передачи информации оценка достоверности обмена информацией определяется допустимой вероятностью искажения сообщений При этом указывается вероятность искажения двоичного символа передаваемого сообщения

Если в случае действия независимых ошибок в канале связи вероятность искажения двоичного символа, то ( вероятность отсутствия искажения. Тогда для двоичной последовательности, содержащей символов [27, 28]:

а) вероятность правильно принятой последовательности

б) вероятность ошибки в принятой последовательности

Эту формулу можно записать в следующем виде:

где Для

Использование избыточных кодов позволяет исправлять или обнаруживать в зависимости от кодового расстояния ту или иную кратность ошибок. Поэтому для оценки эффективности кодов необходимо знать

вероятность появления в кодовой комбинации ошибок любой кратности.

При независимых ошибках вероятность -кратных ошибок

где и т. д. — кратность ошибок.

Для кодов, исправляющих ошибки кратности до вероятность исправления

Прием кодовых слов, исправляющих ошибки, в общем случае может сопровождаться следующими ситуациями.

1. Кодовое слово принято без ошибок (правильно) (вероятность этого события

2. Кодовое слово принято с ошибкой (вероятность Очевидно, что

3. Кодовое слово принято с ошибкой, которая исправляется с вероятностью

4. Кодовое слово принято с ошибкой, которая не исправляется данным кодом. Вероятность этого события о. Отсюда

Из (5.8) следует, что вероятность появления неиспрявляемых ошибок

Используя выражения (5.2), (5.6), получаем

Эта формула позволяет вычислить вероятность неисправляемой ошибки при передаче информации с помощью кода, исправляющего -кратные ошибки.

Для кодов, обнаруживающих ошибки, характерны следующие ситуации:

1. Кодовое слово принято без ошибок с вероятностью

2. Кодовое слово принято с ошибкой, которая обнаруживается. Вероятность такого события

3. Кодовое слово принято с ошибкой, которая с вероятностью о не обнаруживается. При этом Поскольку Искаженные комбинации, которые обнаруживаются приемным устройством, потребителю не выдаются, то вероятность получения ошибочных комбинаций потребителем оценивается только как

При использовании кода, обнаруживающего ошибки, вероятность такого события [32, 57, 59, 60]

где весовая характеристика кода (число слов кода веса или, иначе, число вариантов, не обнаруживаемых данным кодом ошибок); минимальное кодовое расстояние.

Методы определения для общего случая очень громоздки. Более простые методы известны лишь для очень немногих кодов.

Некоторые результаты по оценкам весовых характеристик систематических кодов получены в работе [57], где доказано, что если двоичный -код имеет заданное расстояние для его весовой характеристики справедлива оценка

С учетом условий (5.12) получено [57]

Правая часть этого выражения при ограничена сверху своим значением поэтому в любом канале с независимыми ошибками

Эта оценка довольно точна для коротких кодов с небольшой избыточностью. Для длинных кодов с большой избыточностью удобно следующее выражение [57]:

где число информационных символов; -минимальное кодовое расстояние.

В [27, 59, 60, 87] приводится приближенная оценка вероятности необнаруженной ошибки:

где число проверочных разрядов кода; -минимальное кодовое расстояние.

В большинстве случаев при расчетах используется выражение (5.16).