4.8. Циклические коды Хэмминга

Циклические коды с минимальным кодовым расстоянием являются разновидностью кодов Хэмминга. Эти коды способны исправлять одиночные ошибки или обнаруживать все одиночные и двойные ошибки. отличие от групповых кодов Хэмминга в циклических кодах проверочные разряды размещаются в конце кодовой комбинации. Длина кодовой комбинации выбирается из условия Образующим полиномом может быть любой неприводимый полином степени Неприводимые полиномы до девятой степени включительно представлены в приложении 2. Сведения о неприводимых полиномах более высоких степеней приведены в работе [93].

Разновидностью кодов Хэмминга являются также циклические коды с которые строятся на основе образующих полиномов для кодов Циклические коды Хэмминга с обладают большей корректирующей способностью по сравнению с такими же кодами, но и способны обнаруживать ошибки кратности и менее.

Образующий полином циклического кода с есть произведение двучлена на неприводимый полином, который пригоден как образующий для кода с мин Длина кодовой комбинации выбирается из условия число проверочных разрядов Так, при образующий полином имеет вид . С помощью этого полинома можно образовать код длиной с числом проверочных разрядов

В табл. 40 приведены параметры кодов Хэмминга до

В общем случае многочлены кодов, способных исправлять одиночные, двойные, тройные и т. д. ошибки, можно определить, базируясь на следующем указании Хэмминга.

1. По заданному определяем число проверочных разрядов необходимое для исправления одной ошибки, и строим -код.

2. Рассматривая -код как некорректирующий -разрядный код, определяем дополнительных разрядов для обеспечения исправления одной ошибки в этом коде и строим код

3. Повторяя данную процедуру раз, можно получить код, исправляющий независимые ошибки кратности до включительно.

Однако код, построенный таким образом, оказывается неоптимальным с точки зрения числа проверочных символов при заданном . В этом отношении более совершенен код Боуза — Чоудхури — Хоквингема, который обеспечивает минимальное число проверочных символов при заданном

(см. скан)