Глава 4. ЦИКЛИЧЕСКИЕ КОДЫ

4.1. Общие положения

Циклические коды являются разновидностью систематических кодов и поэтому обладают всеми их свойствами. Первоначально они были созданы для упрощения схем кодирования и декодирования. Их эффективность при обнаружении и исправлении ошибок обеспечила им широкое применение на практике [30, 39, 51, 52, 54, 56, 62, 64, 68, 108, 152, 1561.

Циклические коды более удобно рассматривать, представляя комбинацию двоичного кода не в виде последовательностей нулей и единиц, а в виде полинома некоторой степени:

где основание системы счисления; цифры данной системы счисления (в двоичной системе 0 и 1).

Например, двоичная последовательность может быть записана в виде полинома от переменной х:

Представление кодовых комбинаций в форме (4.2) позволяет свести действия над комбинациями к действиям над многочленами. При этом сложение двоичных многочленов сводится к сложению по модулю два коэффициентов при равных степенях переменной х. Умножение производится по обычному правилу перемножения степенных функций, однако полученные в этом случае коэффициенты при данной степени складываются по

модулю два. Деление осуществляется по правилам деления степенных функций, при этом операции вычитания заменяются операциями суммирования по модулю два.

Например, действия сложения, умножения и деления над многочленами выполняются следующим образом:

Основное свойство циклических кодов, определяющее их название, заключается в следующем. Если комбинация является разрешенной, то комбинация, получаемая из нее путем циклической перестановки разрядов, т. е. комбинация также принадлежит этому коду.

Представление комбинаций в форме (4.1), (4,2) удобно еще и тем, что упомянутая циклическая перестановка есть результат простого умножения данного полинома на х. Действительно, если одна из кодовых комбинаций выражается полиномом то новая комбинация за счет циклического сдвига будет иметь вид Однако в последнем члене необходимо заменить на 1 (в противном случае длина кодовой комбинации превысит Следовательно, полученная комбинация является циклическим сдвигом комбинации