4.9. Коды Боуза — Чоудхури — Хоквингема (БЧХ)

Данные коды являются разновидностью циклических кодов.

Рассмотрим один из способов нахождения образующего полинома для кодов БЧХ. Он определяется по заданному кодовому расстоянию и длине кодовой комбинации. Длину кодовой комбинации кодов БЧХ находим из выражения [86]

где любое целое число. Таким образом, величина может быть равна 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023 разрядам и т. д.

Количество проверочных разрядов кода

Следовательно, число информационных разрядов

Параметры кодов БЧХ (до ), вычисленные по формулам (4.12) — (4.14), приведены в табл. 41 с указанием кодового расстояния и числа информационных символов.

Образующий полином кода Боуза — Чоудхури — Хоквингема является наименьшим общим кратным (НОК) так называемых минимальных полиномов где — -порядок полинома

Вычисленные значения минимальных полиномов для степени приведены в табл. 42 [86]. Значения даны в таблице в восьмеричной системе счисления. Так, полином порядка для степени записанный в таблице числом 2773, представляет следующую двоичную последовательность:

(см. скан)

Продолжение табл. 41 (см. скан)

а многочлен этого полинома записывается как В работе [93] приведена таблица до

Для нахождения образующего полинома кода длиной разрядов с кодовым расстоянием необходимо выписать из таблицы все значения минимальных полиномов, соответствующие заданному до

Таблица 42 (см. скан)

порядка включительно. Если данный порядок в таблице отсутствует, следует взять ближайший меньший.

Пример. Пусть необходимо построить код длиной Следовательно, образующий полином

По табл. 41 находим минимальные полиномы: или или или

Умножив полученные минимальные полиномы, определим образующий полином заданного кода

Путем построения производящей матрицы можно убедиться в том, что полученный код действительно имеет кодовое расстояние, равное семи.

Коды БЧХ обладают нечетными значениями минимального кодового расстояния При желании кодовое расстояние можно увеличить на единицу, применив образующий полином, равный произведению образующего полинома кода БЧХ на двучлен Так, в рассмотренном коде с минимальное кодовое расстояние можно повысить до восьми, если использовать образующий полином

Такой способ увеличения минимального кодового расстояния применим к любым систематическим кодам с нечетным минимальным кодовым расстоянием. Для этого в циклических кодах изменяется образующий полином, а в других систематических кодах вводится дополнительная проверка на четность, охватывающая все информационные разряды.

При рассмотрении кодов БЧХ - отметим следующие закономерности. Число кодов, различающихся по своей корректирующей способности и имеющих обшую длину кодовой комбинации на две единицы меньше числа всех неприводимых многочленов, на которые

разлагается двучлен Например, определим количество циклических кодов для Так как полученный многочлен не является простейшим, то есть старшая степень неприводимого многочлена, на который раскладывается двучлен

Теперь из приложения 2 необходимо выписать все неприводимые многочлены степени 4 и неприводимые многочлены тех степеней, показатели которых являются делителями числа 4, т. е. 1 и 2. Таким образом, степень двучлена складывается из сумм степеней всех неприводимых многочленов, число которых равно единице — для первой степени, единице — для второй степени и трем — для четвертой степени. Выписав все эти многочлены, найдем разложение двучлена

Как видно из разложения, количество неприводимых многочленов равно пяти, а следовательно, число циклических кодов для равно трем, что подтверждается табл. 41.

Следующим важным свойством кода БЧХ является соотношение между максимальным кодовым расстоянием и числом

Для предыдущего примера при действительно подтверждается табл. 41.

Кроме того, следует заметить, что число информационных разрядов, которое может быть использовано при заданном числе и при максимальном кодовом расстоянии, выражается как В приводимом нами примере для