3.17. Коды с постоянным весом

Данные коды относятся к классу блочных неразделимых кодов, так как в них не представляется возможным выделить информационные и проверочные символы. Все комбинации этого кода имеют одинаковый вес (одинаковое количество единиц): Примером является известный код «3 из 7» — семизначный код с постоянным весом 3.

Одна из основных причин применения этих кодов — их преимущество при использовании в каналах связи, в значительной степени асимметричных. В случае полностью асимметричного канала код с постоянным весом считается совершенным применительно к обнаружению ошибок, так как он обнаруживает все ошибки. Полностью асимметричным является канал, в котором имеет место только один вид ошибок, т. е. возможно только преобразование нулей в единицы либо только единиц в нули.

В двоичном симметричном канале (канал, в котором оба вида ошибок равновероятны) коды с постоянным весом обнаруживают все возможные сочетания нечетного числа ошибок, из которых они не выявляют только те, при которых преобразование нуля в единицу на одних позициях компенсируется преобразованием единиц в нули на других. Кроме того, при заданной длине кодового слова оптимальный код с постоянным весом имеет обычно больше разрешенных комбинаций, чем разделимый код с эквивалентной обнаруживающей способностью. Основной недостаток кода с постоянным весом — его неразделимость [119].

В кодах с постоянным весом обнаруживающая способность обусловливается самим видом кодового слова, благодаря чему отделить проверочные знаки без преобразования кода невозможно. Ввиду такой неразделимости обнаруживающая способность кода оказывается

неразрывно связанной с характером информационных знаков. А это, в свою очередь, приводит к невозможности легко изменить код в существующей системе. При использовании кода с постоянным весом обычно прежде всего определяется основной алфавит системы. Затем выбирается код, имеющий достаточное количество кодовых слов. Далее, каждой букве алфавита сопоставляется кодовое слово с постоянным весом. Недостатки такого закрепления кодовых слов особенно проявляются в случаях, когда буквы большей частью передаются группами. Поскольку при использовании неразделимых кодов избыточность заложена уже в каждой (закодированной) букве, повысить экономичность путем кодирования сразу целой группы букв оказывается невозможным. Таким образом, разделимые коды обладают преимуществом по сравнению с неразделимыми. Оно состоит в большей гибкости и возможности повышения экономичности, особенно в тех случаях, когда передаваемая информация кодируется большими блоками.

При построении -разрядного кода с постоянным весом отношение единиц к количеству нулей выбирается таким, чтобы обеспечивалось необходимое количество «разрешенных» комбинаций. Общее количество комбинаций может быть найдено как число сочетаний из элементов по

Известно, что для любого числа элементов справедливо соотношение

Максимальное число «разрешенных» кодовых комбинаций для элементов кода с постоянным весом с учетом соотношения (3.56) определяется выражениями

Очевидно, что во всех остальных случаях, когда. или при и нечетном, или при четном, количество «разрешенных» комбинаций

Например, при применении кода «3 из 7» с количество комбинаций во всех остальных случаях это количество меньше Поэтому из числа возможных отбирается 35 кодовых комбинаций, которые используются в качестве «разрешенных». Остальные 93 комбинации являются «запрещенными» и в приемнике не фиксируются. Избыточность рассмотренного кода

Другим примером кода с постоянным весом может служить код «4 из 8». Этот -элементный код обеспечивает -возможных комбинаций, из которых используются только комбинации, содержащие четыре единицы и четыре нуля. Данному коду присущи те же ограничения и такая же избыточность, что и коду «3 из 7», хотя количество используемых комбинаций в нем

Декодирование принятых комбинаций кода с постоянным весом сводится к определению их веса. Если он отличается от заданного, это означает, что комбинация принята с ошибкой. При проверке на постоянство веса могут быть обнаружены ошибки любой кратности, за исключением ошибки «сдвига», когда одна из единиц комбинации преобразуется в нуль, а один из нулей — в единицу.

Определим вероятность необнаружения ошибки сдвига, обусловленной только одиночными преобразованиями единиц и нулей данной комбинации. Рассматривая случай передачи посылок по симметричному каналу, когда

вероятность преобразования единицы в нуль равна вероятности преобразования нуля в единицу, замечаем [36], что вероятность преобразования одной из трех единиц в нуль равна а вероятность преобразования одного из четырех нулей в единицу составляет

Пользуясь теоремой умножения вероятностей совместимых и независимых событий, получаем

Очевидно, что вероятность обнаруживаемых ошибок равна разности между вероятностью всех ошибок кодовой комбинации и вероятностью необнаруживаемых

В общем случае для «-элементной кодовой последовательности можно записать

Однако, несмотря на простоту, преимущества кодов с постоянным весом невелики. Такие коды используются только в системах, обнаруживающих ошибки. По сравнению с кодом с проверкой на четность для обеспечения той же способности обнаружения ошибок им необходима большая избыточность. Если источник информации выдает случайную последовательность двоичных сигналов, то применение кодов с постоянным весом затруднительно. Эти коды в основном используются для передачи буквенно-цифровой информации, которая всегда требует обязательного преобразования в дискретную форму.

Код «3 из 7» широко применяется при частотной манипуляции в каналах с селективными замираниями, где вероятность ошибок смещения невелика.

Пример. Найдем для -элементного кода отношение

Используя формулы (3.57), (3.58), находим

1/58332, т. е. одна необнаруженная ошибка приходится примерно на каждые обнаруженных.