4.7. Циклические коды с минимальным кодовым расстоянием

Простейший циклический код с позволяет обнаруживать одиночные ошибки и ошибки нечетной кратности. Образующий полином этого кода имеет вид Среди неприводимых многочленов, входящих в разложение данный полином является многочленом наименьшей степени Таким образом, при любом числе информационных разрядов необходим только один проверочный разряд. Значение символа этого разряда обеспечивает четность числа единиц в любой разрешенной кодовой комбинации. Полученный циклический код с проверкой на четность способен обнаруживать не только одиночные ошибки в отдельных разрядах, но и ошибки в любом нечетном числе разрядов.

Пример. Построить циклический код для Поскольку образующий полином является полиномом 1-й степени, число проверочных разрядов Следовательно, Для построения циклического кода строим производящую матрицу

Для построения дополнительной матрицы находим остатки от деления поаледней строки единичной транспонированной матрицы, дополненной нулями, на выбранный полином:

Таким образом, дополнительная матрица С, к имеет вид

Теперь строим производящую матрицу

Строки данной матрицы являются тремя первыми комбинациями кода. Остальные из разрешенных комбинаций могут быть получены суммированием по модулю два всевозможных сочетаний строк матрицы Полученные разрушенные кодовые комбинации приведены в табл. 39.

Таблица 39 (см. скан)

Известный интерес представляет рассмотрение следующего простейшего кода с образованного с помощью неприводимого полинома второй степени

Общий вид производящей матрицы циклического кода, образованного полиномом отличается структурой дополнительной матрицы имеющей два столбца.

Легко убедиться, что при делении на данный образующий многочлен одночленов, выражающих строки

единичной матрицы (для нахождения дополнительной матрицы образуется. три вида остатков: 11, 01 и 10. Следовательно, вес каждой комбинации полученного -кода будет не менее двух. Минимальное кодовое расстояние между двумя любыми комбинациями также равно двум. Но такими же величинами характеризуется и простейший код с одной проверкой на четность, образованный двучленом первой степени Однако корректирующая способность обоих кодов неодинакова. Рассматриваемый код имеет большую избыточность и позволяет обнаруживать не только любые ошибки нечетной кратности, но и любые парные смежные ошибки, а также все ошибки, разделенные одним неискаженным элементом [122].