1.3. Некоторые сведения из теории вероятности

На практике очень часто приходится сталкиваться с опытами (испытаниями, наблюдениями, событиями), дающими различные результаты в зависимости от условий (обстоятельств), которых мы не знаем или не можем учесть.

Применение математики к изучению таких явлений опирается на следующую закономерность. Во многих случаях при многократном повторении одного и того же опыта в одних и тех же условиях частота появления рассматриваемого результата (т. е. отношение числа опытов, в которых этот результат наблюдался, к общему производимых опытов) остается все время примерно одинаковой, близкой к некоторому постоянному числу. Это постоянное число называют вероятностью рассматриваемого события и обозначают буквой Формула для непосредственного подсчета вероятности имеет

где общее число равновозможных и несовместимых случаев (исходов) число благоприятствующих случаев; вероятность совершения благоприятного случая. Обычно вероятность достоверного события принимается равной единице, а невозможного события — нулю. Тогда для любого события

Независимые события — это такие события, на осуществление одного из которых не влияет осуществление других. Так, независимы события, состоящие в извлечении черного шара из двух различных содержащих белые и черные шары. Однако два последовательных извлечения черного шара из одной урны (без возвращения вынутого шара в урну) не представляют собой независимые события, поскольку результат первого извлечения влияет на число оставшихся в урне черных шаров и, следовательно, отражается на условиях второго опыта.

Пусть событие реализуется при из равновероятных исходов первого опыта, а независимое от него событие В — при из равновероятных исходов второго опыта. В этом случае вероятность события А равна а вероятность В равна . Рассмотрим теперь сложный опыт, состоящий в том, что производятся оба наши опыта. Очевидно, что данный сложный опыт может иметь различных равновероятных исходов, поскольку каждому из исходов первого опыта могут отвечать различных исходов второго опыта. Из этих равновероятных исходов сложному событию А В будут благоприятствовать исходов, которые получаются, если комбинировать исходов первого опыта, благоприятствующих событию А, с «2 исходами второго опыта, благоприятствующими событию В. Таким образом, вероятность события выразим как значит,

Эту формулу можно обобщить следующим образом. Пусть какие-то взаимно независимые события. В этом случае

Если события зависимы, то после наступления одного из них, например А, вероятность другого будет отличаться от его вероятности вычисленной без учета наступления события А. Вероятность события В при условии, что уже произошло событие называют условной вероятностью и обозначают или Поэтому формула для вероятности одновременного наступления двух зависимых событий должна быть записана в виде [148]

Например, вероятность вынуть два белых шара из урны, в которой находятся два белых и три черных шара, равна произведению вероятности вынуть белый шар первый раз (событие А) на вероятность вынуть белый шар второй раз (событие В) при условии, что первым был белый шар (произошло событие А), т. е. Из формулы (1.7) следует выражение